Optik Euklid Lukas Wirth Lukas Wirth Text Neue Edition des Textes Lukas Wirth Lukas Wirth Kiel Institut für Klassische Altertumskunde Leibnizstraße 8 24118 Kiel 1799-10 01. Mai 2026 Ausgangspunkt war eine TEI-Repräsentation von J. L. Heiberg Euclidis Optica Heiberg B 1895 Teubner Leipzig Diese wurde um Varianten in ausgewählten Handschriften und alten Druckausgaben ergänzt, um die Basis der Neuedition zu bilden. J. L. Heiberg Euclidis Optica Heiberg B 1895 Teubner Leipzig S. 145–247 Joh. Pena Eukleidu Optika Kai Katoptrika, Euclidis Optica & Catoptrica, Nvnqvam Antehac Graece Aedita 1557 Wechelus Paris S. 1–34 Konrad Dasypodius Eukleidu Protaseis stoicheiōn 15, Optikōn, Katoptrikōn, Harmonikōn, kai Phainomenōn 1570 Mylius Argentoratum 51r–59v David Gregory Eukleidu Ta Sōzomena, Euclidis Quae Supersunt Omnia 1703 Theatrum Scheldonianum Oxford 601–642 München BSB Cod.graec. 361 a Mehrere Schriften Euklids, sowie Texte zu Astronomie und Musik; dazu Iamblich. ff. 8–14 Euklid Optik Pergament Papier Teilweise beschädigt. Blätter in fehlerhafter Reihenfolge zusammengebunden. Haupthand der Handschrift Zweite Hand im Text Text der Handschrift einer Korrekutr. Verwenden, wenn nicht sicher ist, von wem diese Korrektur stammt. Text der Handschrift nach einer Korrektur. Verwenden, wenn nicht sicher ist, von wem diese Korrektur stammt. Saec. XIII, XIV, XV Paris BNF Grec 2342 Sammelhandschrift mit mathematischem Schwerpunkt ff. 109–114 Euklid Optik Papier 200 Bl. Haupthand der Handschrift Zweite Hand im Text Text der Handschrift einer Korrekutr. Verwenden, wenn nicht sicher ist, von wem diese Korrektur stammt. Text der Handschrift nach einer Korrektur. Verwenden, wenn nicht sicher ist, von wem diese Korrektur stammt. Saec. XIV Paris BNF Grec 2390 Mathematische Sammelhandschrift ff. 265–275 Euklid Optik Papier 218 Bl. Haupthand der Handschrift Zweite Hand im Text Text der Handschrift einer Korrekutr. Verwenden, wenn nicht sicher ist, von wem diese Korrektur stammt. Text der Handschrift nach einer Korrektur. Verwenden, wenn nicht sicher ist, von wem diese Korrektur stammt. XIII. Jh. Paris BNF Grec 2472 Astronomisch-mathematische Sammelhandschrift ff. 49–64 Euklid Optik Mit Scholien. Papier 197 Bl. Haupthand der Handschrift Zweite Hand im Text Text der Handschrift einer Korrekutr. Verwenden, wenn nicht sicher ist, von wem diese Korrektur stammt. Text der Handschrift nach einer Korrektur. Verwenden, wenn nicht sicher ist, von wem diese Korrektur stammt. XIV Jh. Vatikan Biblioteca Apostolica Vaticana Vat.gr. 192 Mathematische und astronomische Schriften mit Scholien. ff. 127r–138r f. 143 Euklid Optik In der Recensio Theonis. Papier VI + 397 Bl. 33,5 24,5 Haupthand der Handschrift Zweite Hand im Text Text der Handschrift einer Korrekutr. Verwenden, wenn nicht sicher ist, von wem diese Korrektur stammt. Text der Handschrift nach einer Korrektur. Verwenden, wenn nicht sicher ist, von wem diese Korrektur stammt. 13. Jh. Vatikan Biblioteca Apostolica Vaticana Vat.gr. 202 Mathematisch-astronomische Sammelhandschrift ff. 95v–133r Euklid Optik In der Recensio Theonis Papier VI + 398 Bl. 25,3 17,0 Haupthand der Handschrift Zweite Hand im Text Text der Handschrift einer Korrekutr. Verwenden, wenn nicht sicher ist, von wem diese Korrektur stammt. Text der Handschrift nach einer Korrektur. Verwenden, wenn nicht sicher ist, von wem diese Korrektur stammt. 13. Jh. Vatikan Biblioteca Apostolica Vaticana Vat.gr. 204 Mathematisch-astronomische Sammelhandschrift ff. 43v–59r Euklid Optik In der Recensio Theonis Pergament III + 206 Bl. 34,5 25,1 Haupthand der Handschrift Zweite Hand im Text Text der Handschrift einer Korrekutr. Verwenden, wenn nicht sicher ist, von wem diese Korrektur stammt. Text der Handschrift nach einer Korrektur. Verwenden, wenn nicht sicher ist, von wem diese Korrektur stammt. 10. Jh., Anfang Wien Österreichische Nationalbibliothek (ÖNB) Cod. Phil. gr. 120 Sammelhandschrift zu Kriegstechnik und Taktik. Enthalten Auszüge aus Katoptrik und Optik Euklids, diese nehmen zusammen ff. 37r–39r ein. Ohne Titelangabe in der Handschrift: Kap. 18–21 der Optik auf ff. 38v–39r ff. 38v–39r Euklid Optik Pergament III + 206 Bl. 34,5 25,1 Die obere Hälfte der Blätter ist durch einen Wasserschaden teilweise schwer lesbar bzw. unleserlich. Haupthand der Handschrift Zweite Hand im Text Text der Handschrift einer Korrekutr. Verwenden, wenn nicht sicher ist, von wem diese Korrektur stammt. Text der Handschrift nach einer Korrektur. Verwenden, wenn nicht sicher ist, von wem diese Korrektur stammt. Vatikan Biblioteca Apostolica Vaticana Vat.gr. 191 Mathematische und astronomische Schriften mit Scholien. ff. 12r–18r Euklid Optik In der Recensio Theonis. Papier VI + 397 Bl. 36,5 23,7 Haupthand der Handschrift Zweite Hand im Text Text der Handschrift einer Korrekutr. Verwenden, wenn nicht sicher ist, von wem diese Korrektur stammt. Text der Handschrift nach einer Korrektur. Verwenden, wenn nicht sicher ist, von wem diese Korrektur stammt. 13. Jh. Interpunktion wird in diesem Dokument aus der Edition von Heiberg übernommen. Die Satzzeichen sollen als Teil des jeweiligen Satzes angesehen werden. Vorhandene Anführungszeichen aus der Textausgabe werden übernommen, dabei aber auf " bzw. ' vereinheitlicht. Worttrennung wird nicht beibehalten. Datumsangaben: JJJJ-MM-TT Zeitangaben: HH-MM Maßangaben: cm OxygenXML in Version 21.1 OxygenXML in Version 22.1 OxygenXML in Version 22.1 Notepad++ Texteditor in Version 7.8.7 Notepad++ Texteditor in Version 8.8.9 3. Jh. v. Chr. (?) Altgriechisch τὰ πρὸ τῶν Εὐκλείδου ὀπτικῶν Ἀποδεικνὺς τὰ κατὰ τὴν ὄψιν ὁ Εὐκλείδης om. παραμυθίας ἐκόμιζέ κόμιζεί τινας προσεπιλογιζόμενος, διότι δι' ὅτι ὅτι κατ' εὐθείας γραμμὰς πᾶν φῶς φέρεται. σημεῖον δὲ τούτου μέγιστον τάς τε τ' ἀπὸ τῶν σωμάτων ἀπορριπτουμένας ..γινομεναι ..νομενας (γενομένας?) σκιὰς καὶ τὰς ἀπὸ τῶν θυρίδων θηρίων τε om. καὶ ὀπῶν φερομένας αὐγὰς κομίζει. ἕκαστον δὲ τούτων οὐκ ἂν ἐγίγνετο ἐγίνετο , καθάπερ νῦν θεωρεῖται γιγνόμενον γινόμενον , εἴπερ μὴ αἱ ἀπὸ τοῦ ἡλίου φερόμεναι ἀκτῖνες κατά τινας εὐθείας ἐφέροντο φέροντο . ἐπί τε τῶν παρ' ἡμῖν ὑμῖν πυρῶν τὰς om. ἀποστελλομένας ἔφασκεν αὐγὰς αἰτίας εἶναι τοῦ τε γε φωτίζεσθαί τινα τῶν παρακειμένων σωμάτων καὶ ἀπορρίπτειν σκιὰς τὰς μὲν ἴσας τοῖς ὑποκειμένοις σώμασι, τὰς δὲ μείζονας, τὰς δὲ ἐλάσσονας τῶν ὑποκειμένων σωμάτων. καὶ ἴσας μὲν ἀπορρίπτειν σκιάς, ὅσα τοῖς om. φωτοῖς [φωτοῖς] φωτίζουσι φωτίζουσί τε φωτίζουσί [τε] πυροῖς ἴσα ἐστί, om. ὡς om. συμβαίνειν τάς τε τ' ἐσχάτας ἀκτῖνας ἐπὶ τούτων συμβαίνειν del. συμβαίνει παραλλήλους γίγνεσθαι γίνεσθαι καὶ μήτε μή συναπτούσας αὐτὰς ἑαυτὰς μειοῦν τὴν σκιὰν μήτε μὴν ἐξαπλουμένας αὔξειν, ἀλλ' ἀλλὰ οἷόν ἐστι τὸ ἐπιπροσθοῦν, τοιαύτην καὶ om. τὴν τῆς σκιᾶς συμμετρίαν φυλάσσειν· ἐλάσσονες δὲ τῶν σωμάτων αἱ σκιαί αἱ τῶν σωμάτων σκιαί εἰσιν, ὅταν τὰ om. φωτίζοντα πυρὰ μείζονα ᾖ· τὰς γὰρ ἐσχάτας ἀκτῖνας συμπίπτειν ἑαυταῖς· διὸ δὴ καὶ μειοῦν τὰς σκιάς. μείζους δὲ τῶν σωμάτων αἱ σκιαί εἰσιν, ὅταν τὰ φωτίζοντα πυρὰ ἐλάσσονα ᾖ· τὰς γὰρ ἐσχάτας ἀκτῖνας ἐπὶ τούτων ἐξαπλοῦσθαι συμβαίνει καὶ μεῖζον τὸ σκιαζόμενον μέρος ἀποτελεῖν· οὐδέποτε δ' ἂν τοῦτο συνέβαινεν συνεβαίνειν συμβαίνειν , εἰ μὴ αἱ ἀπὸ τοῦ πυρὸς φερόμεναι ἀκτῖνες ἐπ' εὐθείας ἐφέροντο. ἐκφανέστατα ἐμφανέστατα δὲ τούτων πάντων τοῦτο ἐπὶ τῶν κατασκευαστῶς γινομένων θεωρεῖσθαι συμβαίνει. λύχνου γὰρ ὁπωσδηποτοῦν κειμένου εἰ προστεθείη τούτῳ τοῦτο πτυχίον ἔχον om. ἔχων ἐπιτομὴν ἐντομὴν om. (διὰ) λεπτοῦ πριονίου, ὥστε καὶ τὴν ἐπιτομὴν ἐντομὴν κατὰ μέσου μέσον τοῦ λύχνου πίπτειν, τῷ δὲ πτυχίῳ τούτῳ om. κατὰ τὰ ἕτερα μέρη παρατεθείη πτυχίον πυκτίον ἔγγιον, ᾧ προσπεσεῖται ἡ αὐγὴ ἡ διὰ τῆς ἐντομῆς φερομένη, πάντως τὴν προσπίπτουσαν αὐγὴν τῷ πτυχίῳ εὐθείαις γραμμαῖς περιεχομένην εὑρήσομεν εὑρήσωμεν καὶ τὴν ἐπιζευγνύουσαν τό τε μέσον μέσου τοῦ λύχνου καὶ τὴν ἐντομὴν τοῦ πτυχίου κατὰ καὶ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν οὖσαν. ἐναργοῦς οὖν om. ὄντος ὄντως τοῦ, ὅτι πᾶν φῶς κατ' εὐθεῖαν γραμμὴν φέρεται, καὶ πᾶσι προδήλου μεταβαίνειν μεταβαίνων ἐπὶ τὴν ὄψιν ἠξίου καὶ τὰς ἀπ' αὐτῆς ἐκχεομένας ἀκτῖνας καὶ om. ὁμολογεῖν κατ' εὐθείας φέρεσθαι γραμμὰς καὶ ταύτας ἐν διαστήμασι διαστήμασιν διαστήματι , καὶ διὰ τοῦτο μηδὲ τὰ ὁρώμενα ἅμα ὅλα om. ὁρᾶσθαι, ὑπόμνησιν φέρων τοιαύτην· πολλάκις πολλάκης γὰρ δὲ βελόνης ἤ τινος τοιούτου ἑτέρου σωματίου ἐκριφέντος εἰς τὸ ἔδαφος φιλοτιμότερόν τινες προσεκάθισαν προσεκάθησαν προσηκάθισαν τῇ ζητήσει καὶ τὸν αὐτὸν τόπον τρόπον πολλάκις ἐμάτευσαν ἐμάστευσαν ἐμάστησαν οὐδενὸς ἐπιπροσθοῦντος τῷ ζητουμένῳ σωματίῳ· εἶτα μέντοι γε ὕστερον ἐπιβάλλοντες τὴν ὄψιν τῷ τόπῳ, ἐν ᾧπερ ἦν τὸ σωμάτιον, εἶδον τὴν βελόνην om. αὐτά . δῆλον οὖν om. , ὡς, om. ὅτε οὐχ ἑωρᾶτο τὸ ἐξερριμμένον, οὐδὲ ὁ τόπος, ἐν ᾧ ἦν, ἑωρᾶτο ἑωρεῖτο · ὥστε τοῦ ὑπὸ τὴν ὄψιν τοῦ ζητοῦντος κειμένου κειμένον τόπου μὴ ἅπαντα τὰ μέρη θεωρεῖσθαι. εἰ γὰρ ἐθεωρεῖτο, καὶ τὸ ζητούμενον ἂν ἑωρᾶτο· οὐχ ἑωρᾶτο δέ. ἐπί τε τῶν ἀτενιζόντων τοῖς βιβλίοις συνιστάμενος ἔφασκε συνιστάμενος ἔφασκεν ὁμοίως φησὶ μηδὲ τούτους ἂν δύνασθαι πάντα τὰ ἐν τῇ om. σελίδι γράμματα ὁρᾶν. πολλὰ πολλάκις γοῦν ἀναγκαζομένους δεῖξαι τῶν σπανίως γραφομένων γραμμάτων μὴ δύνασθαι δεῖξαι διὰ τὸ μὴ πρὸς πάντα τὰ γράμματα τὰς ὄψεις φέρεσθαι, ἀλλ' ἀλλὰ ἐκ διαστημάτων ταύτας ὑπάρχειν καὶ πολλὰ τῶν τῶν τῶν κατατεταγμένων μὴ θεωρεῖν. ὥστε ἐκ τούτου φανερόν ἐστι ἐστιν , διότι οὐδὲ μηδὲ οὐδ' ὁ τόπος τῆς σελίδος ὅλος ὁραθήσεται. καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων αὐτῶν θεαμάτων τὸ αὐτὸ συμβαίνει. ὥστε οὐχ ὁραθήσεται ἅμα ὅλα ὅλα ὅλα ἅμα τὰ ὁρώμενα· δοκεῖ δὲ δ' ὁρᾶσθαι διὰ τὸ κινεῖσθαι τὰς ὄψεις ὑπερβολῇ τάχους μηδὲν ἀπολειπούσας, τουτέστι τοῦτ' ἔστι κατὰ συνέχειαν παραφερομένας καὶ μὴ ἁλλομένας ἀλλοιομένας . πρὸς δὲ τὸ om. μὴ om. τῇ ὄψει μὴ om. προσπίπτειν προσπίπτει τι εἴδωλον ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου εἰς πρὸς τὸ om. κινῆσαι κινεῖσθαι αὐτὴν πρὸς τὸ καταλαβεῖν τὸ ὁρώμενον ἔφερεν αἰτίας τοιαύτας αἰτίαν τοιαύτην · καὶ γὰρ ἐπὶ τοῦ ζητουμένου σώματος καὶ τοῦ τῷ βιβλίῳ ἀτενίζοντος ἀπορίαν κομίζων ἔλεγεν· εἰ ἦν κατ' εἰδώλων ἔμπτωσιν τὸ ὁρατικὸν πάθος, καὶ ἀπὸ παντὸς σώματος om. διηνεκῶς εἴδωλα ἀπέρρεεν ἀπέρρει , ἃ κινεῖ ἡμῶν τὴν αἴσθησιν, τίς ἡ αἰτία γίγνεται γίνεται , δι' ἣν οὐχ ὁρᾷ ὅ τε ζητῶν τὴν βελόνην καὶ ὁ τῷ βιβλίῳ ἀτενίζων πάντα τὰ γράμματα; πότερόν ποτε διὰ τὸ μετεωρίζεσθαι μητεωρίζεσθαι τῇ διανοίᾳ; ἀλλ' ἀλλὰ οὐδὲν ἧττον ἐπιλογιζόμενοι ζητοῦσι om. [τοῦτο,] καὶ ὁλοσχερῶς οὐχ εὑρίσκουσι, πολλάκις δὲ ὁμιλοῦντες ἑτέροις ἀλλήλοις καὶ περισπώμενοι τῇ διανοίᾳ εὑρίσκουσι θᾶττον. ἀλλ' οὐ πάντα τὰ εἴδωλα εἰσκρίνεται εἰς τὴν ὅρασιν; καὶ τίς om. ἡ αἰτία τοῦ ἀποκληροῦσθαι ἀποκλείεσθαι τὰ om. μὴ εἰσκρινόμενα; καὶ μὴν τὴν φύσιν ἔφασκε ἔφασκεν ἔφασκον κατὰ τὰ ζῶα ἤ ἐπὶ τῶν ζῴων τὰ μὲν τῶν αἰσθητηρίων πρὸς ὑποδοχὴν εὔθετα ἔθετα κατεσκευακέναι κατασκευακέναι κατεσκευασμέναι κατεσκευασμένα κατεσκεακέναι , τὰ δὲ μή. ἀκοὴν μὲν om. γὰρ καὶ γεῦσιν καὶ ὄσφρησιν om. καὶ ὄσφρησιν καὶ γεῦσιν κοῖλα κατεσκεύακεν ἐντὸς ὡς ἔξωθεν αὐταῖς προσπίπτειν σώματα κινήσοντα τὰς αἰσθήσεις ταύτας. ἀκοῇ μὲν γὰρ φωνὴ προσπίπτουσα τόπον ἐπιτήδειον ἐπιτήδιον ὤφειλεν ὤφελεν εὑρίσκειν πρὸς τὸ ἀναμεῖναι καὶ μὴ κατὰ τὴν πρόσπτωσιν εὐθέως ἀποπαλθεῖσαν τήν τε τ' αἴσθησιν ἀκίνητον διαφυλάττειν καὶ τὴν ἐπιφερομένην συγχέαι φωνήν. ὁμοίως δὲ καὶ ὄσφρησιν· ἐπὶ μὲν γὰρ γεύσεως τί δεῖ καὶ λέγειν; διὸ καὶ μάλιστά πως αὗται αὐταὶ αἱ om. αἰσθήσεις κοῖλαί τε καὶ ἀντροειδεῖς κατεσκευάσθησαν πρὸς τὸ ἐμμένειν τὰ προσπίπτοντα σώματα πλείονας πλείονα χρόνους χρόνον . om. καὶ om. ἐπὶ τῆς ὁράσεως οὖν, εἴπερ ἧπερ ἔξωθεν αὐτῇ προσέπιπτε προσέπιπτεν τὰ κινήσοντα αὐτὴν σώματα, καὶ μὴ αὐτὴ ἐξαπέστελλέ ἐξαπέστελλέν τι ἀφ' ἑαυτῆς, om. πρὸς ἀντίληψιν καὶ ὁράσεως πρὸς ἀντίληψιν τῶν ὁρατῶν ἔδει τὴν κατασκευὴν om. τι ἀφ' ἑαυτῆς, ἔδει τῆν κατασκευὴν αὐτῆς κοίλην κοίνην τε om. καὶ εὔθετον πρὸς ὑποδοχὴν τῶν προσπιπτόντων σωμάτων εἶναι· νυνὶ δὲ θεωρεῖται τοῦτο οὐχ μὴ οὕτως ἔχον, ἀλλὰ μᾶλλον σφαιροειδὴς οὖσα θεωρεῖται ἡ ὅρασις. πρὸς οὖν τὸ τοῦτο πιστὸν εἶναι τε κατὰ κατασκευασμένα τὸ παρὸν τὸ ἀκτῖνας εἶναι τὰς ἐκχεομένας καὶ κινούσας τὸ ὁρατικὸν πάθος ἀρκούντως ἐδόκει εἰρῆσθαι, om. πρὸς δὲ τὸ τὰς ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ταῖς ὄψεσι ὄψεσιν ὄπσεσι κειμένας περιφερείας ͻας εὐθείας φαίνεσθαι ἔλεγε ἔλεγεν τάδε· διότι ἡ om. ἐν om. τῷ αὐτῷ αὐτοῦ αὐτῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κειμένη ὄψις ᾡτινιοῦν θεωρητῷ τοιαύτη ἐστὶν ὥστε μήτε ὑψηλοτέρα εἶναι τοῦ θεωρουμένου μήτε ταπεινοτέρα ταπεινωτέρα · τὸ γὰρ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κεῖσθαι τοῦτ' ἔστιν. εἰ οὖν οὔτε ταπεινοτέρα οὔτε ὑψηλοτέρα ἐστὶν ἡ ὄψις τῆς ἐν τῷ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ γεγραμμένης περιφερείας ͻας , οὐχὶ τοῖσδε μὲν τοῖς μέρεσιν ὑψηλοτέρας προσβάλλει ἀκτῖνας τοῖσδε τοῖς δὲ ταπεινοτέρας, ἀλλὰ πᾶσι τοῖς μέρεσι τῆς περιφερείας ͻας ἴσας τὰς διὰ τοῦ ἐπιπέδου φερομένας ἀκτῖνας προσβάλλει προβάλλει ὥστε τὴν αὐτὴν γίγνεσθαι γίνεσθαι αἰτίαν τοῦ τε τὸ ἐπίπεδον εὐθείας φαντασίαν ἀπολιπεῖν καὶ τὴν ἐν τῷ ἐπιπέδῳ γεγραμμένην περιφέρειαν ͻαν . καὶ γὰρ τὸ ἐπίπεδον τὸ ἐπ' εὐθείας κείμενον τῇ ὄψει ὄψῃ αὐτὸ μὲν om. ἀθεώρητόν ἐστι διὰ τὸ μὴ προσπίπτειν αὐτῷ μηδεμίαν τῶν ἀπὸ τῆς ὄψεως ἐκχεομένων ἀκτίνων, τὸ δὲ πέρας αὐτοῦ θεωρεῖται, ὅπερ ἐστὶν ἡ περιφέρεια ͻα εὐθεῖα γραμμή γραμμή . λέγει δὲ [διὰ] διὰ om. τὸ τὴν πρὸς τῇ ὄψει ὄψῃ κειμένην μένειν γραμμήν, ἥτις τοῖς om. λοιποῖς τοῦ ἐπιπέδου μέρεσιν μέσιν ἐπιπροσθοῦσα ἀθεώρητον ποιεῖ τὸ ἐπίπεδον. ἡ δὲ αὐτὴ αἰτία ἡ ἣν om. περὶ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ ἐπ' εὐθείας κειμένου τῷ ὄμματι ποιεῖ εὐθείας ἀποδιδόναι φαντασίαν καὶ om. περὶ τῶν περιφερειῶν ͻͻῶν τῶν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κειμένων τῷ ὄμματι. φαίνεσθαι δὲ δὴ τὸ μὲν μεῖζον, ὅταν πλείονες ὄψεις ἐπιβάλλωσιν ἐπιβάλλωσι ἐπιβάλλουσι , τὸ δὲ ἴσον, ὅταν ἴσαι, τὸ δὲ δ' ἔλασσον, ὅταν ἐλάσσονες γίγνωνται γίγνονται γίνονται γίνωνται τῶν ὄψεων οἷον οἵων γωνίαι τινὲς πρὸς τῷ ὄμματι. ὅροι αʹ 1. Ὑποκείσθω om. οὖν τὰς ἀπὸ τοῦ ὄμματος ὄψεις κατ' εὐθείας γραμμὰς φέρεσθαι διάστημά τι ποιούσας ἀπ' ἐπ' ἀλλήλων. βʹ 2. καὶ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ὄψεων περιεχόμενον σχῆμα εἶναι κῶνον τὴν κορυφὴν μὲν ἔχοντα ἔχοντα μὲν πρὸς τῷ τὸ ὄμματι, τὴν δὲ βάσιν πρὸς τοῖς πέρασι πέρασιν τῶν ὁρωμένων. γʹ 3. καὶ ὁρᾶσθαι μὲν ταῦτα, πρὸς ἃ ἂν αἱ ὄψεις προσπίπτωσιν προσπίπτωσι προσπίπτωσιν αἱ ὄψεις ... προσπίπτωσιν αἱ ὄψεις , μὴ ὁρᾶσθαι δέ, πρὸς ἃ ἂν μὴ προσπίπτωσιν προσπίσιν αἱ ὄψεις. δʹ 4. καὶ τὰ μὲν ὑπὸ om. τοῦ del. μείζονος γωνίας ὁρώμενα ὁρύμενα μείζονα φαίνεσθαι, τὰ δὲ δ' ὑπὸ ὑπ' ἐλάσσονος ἐλάσσονα, ἴσα δὲ τὰ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα. εʹ 5. καὶ τὰ μὲν ὑπὸ μετεωροτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα μετεωρότερα φαίνεσθαι φένεσθαι , τὰ δὲ δ' ὑπὸ om. τῶν ταπεινοτέρων ταπεινωτέρων ταπεινότερα. ϛʹ 6. καὶ ὁμοίως τὰ μὲν ὑπὸ δεξιωτέρων δεξιοτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα δεξιώτερα δεξιότερα φαίνεσθαι, τὰ δὲ δ' ὑπὸ ὑπ' ἀριστερωτέρων ἀριστερώτερα ἀριστεροτέρων ἀριστερώτερα ἀριστεροτέρων ἀριστερότερα . ζʹ 7. om. ἔτι ἤ· ἔτι τὰ ὑπὸ τὰ δὲ δ' del. ὑπὸ πλειόνων γωνιῶν ὄψεων ὁρώμενα ἀκριβέστερον φαίνεσθαι. om. ταῦτα μὲν οὖν ὑποκείσθω ἡμῖν, ἐξ ὧν τὰ ἐξῆς θεωρήματα δειχθήσεται. αʹ 1. om. ὅτι Οὐδὲν τῶν ὁρωμένων ἅμα ὅλον ὅλον ἅμα ἅμα ὁρᾶται. ἔστω γὰρ ὁρώμενόν τι τὸ ΑΔ, ὄμμα δὲ ἔστω ὄμμα μὲν τὸ Β, ἀφ' οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΒΑ, ΒΓ, ΒΚ, ΒΔ. οὐκοῦν ἐπεὶ ἐν διαστήματι φέρονται αἱ προσπίπτουσαι ὄψεις, οὐκ ἂν προσπίπτοιεν προσπίπτειεν συνεχεῖς πρὸς τὸ ΑΔ. ὥστε γένοιτο ἂν καὶ del. κατὰ τὸ ΑΔ διαστήματα διαστήματος , πρὸς ἃ om. καὶ αἱ ὄψεις οὐ προσπεσοῦνται. οὐκ ἄρα ὀφθήσεται ἅμα ὅλον τὸ ΑΔ. δοκεῖ δὲ ὁρᾶσθαι ἅμα τῶν ὄψεων ταχὺ παραφερομένων φερομένων . βʹ 2. Τῶν ἴσων μεγεθῶν ἐν διαστήματι κειμένων τὰ .... ἀνίσοις (?) τὰ ἔγγιον ἔγγειον κείμενα ἀκριβέστερον ὁρᾶται. ἔστω ὄμμα μὲν τὸ Β, ὁρώμενον δὲ τὸ ΓΔ καὶ τὸ ΚΛ· χρὴ δὲ νοεῖν αὐτὰ ἴσα om. τε καὶ παράλληλα, ἔγγιον ἔγγειον δὲ ἔστω τὸ ΓΔ ΛΔ · καὶ προσπιπτέτωσαν ὄψεις ὡς om. αἱ ΒΓ, ΒΔ, ΒΚ, ΒΛ. οὐ γὰρ ἂν εἴποιμεν, ὡς αἱ om. ἀπὸ τοῦ om. B ὄμματος πρὸς τὸ τῇ τὴν τὰ τὰς ΚΛ προσπίπτουσαι ὄψεις [ὡς] ὡς del. om. διὰ τῶν Γ, Δ σημείων ἐλεύσονται. ἢ ἦ γὰρ ἂν τριγώνου ▽ου τοῦ ΒΔΛΚΓΒ ΒΔ ΛΚ ΓΒ ΒΔΛΚΓ ΒΔ ΛΚ Γ ΒΔΓ, ΒΛΚ ΒΛΚ ἡ ΚΛ μείζων ἂν ἦν τῆς ΓΔ. ὑπόκειται δὲ καὶ ἴση. οὐκοῦν τὸ ΓΔ ὑπὸ πλειόνων ὄψεων ὁρᾶται ἤπερ εἴπερ τὸ ΚΛ. ἀκριβέστερον ἄρα φανήσεται τὸ ΓΔ τοῦ ΚΛ. γʹ 3 Ἕκαστον τῶν ὁρωμένων ἔχει τι μῆκος ἀποστήματος, om. ἐν οὗ γενόμενον γενομένου γινομένου οὐκέτι οὐκ ἔτι ὁρᾶται. ἔστω γὰρ ὄμμα μὲν τὸ Β, ὁρώμενον ὁρώ δὲ om. τὸ ΓΔ. φημὶ δή, ὅτι τὸ ΓΔ λέγω , ὅτι τὸ ΓΔ om. ἔν τινι ἀποστήματι γενόμενον οὐκέτι οὐκ ἔτι ὁραθήσεται. γεγενήσθω γὰρ τὸ ΓΔ ἐν τῷ μεταξὺ διαστήματι τῶν ὄψεων, ἐφ' οὗ τὸ Κ. οὐκοῦν πρὸς τὸ Κ οὐδεμία τῶν ἀπὸ τοῦ Β ὄψεων προσπεσεῖται [πρὸς ὃ δέ γε αἱ ὄψεις οὐ προσπίπτουσιν, ἐκεῖνο οὐχ ὁρᾶται] πρὸς ὃ δέ γε αἱ ὄψεις οὐ προσπίπτουσιν, ἐκεῖνο ἐκείνῳ οὐχ ὁρᾶται om. . ἕκαστον ἄρα τῶν ὁρωμένων ἔχει τι μῆκος ἀποστήματος, οὗ γενόμενον γενομένου οὐκέτι οὐκ ἔτι ὁρᾶται. om. Δεῖ δὲ τὸ ὁρώμενον πρὸς τὸ ὄμμα ἔχειν ἀπόστημά τι· οὐ γὰρ ἂν ἄλλως ὀφθείη. δʹ 4 Τῶν ἴσων διαστημάτων μεγεθῶν om. καὶ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντων τὰ ἐκ πλείονος ἀποστήματος διαστήματος ὁρώμενα ἐλάττω φαίνεται. ἔστω γὰρ ἴσα om. μεγέθη om. διαστήματα ἐπὶ ... εὐθείας τὰ ΒΓ, ΓΔ, ΔΖ, ὄμμα δὲ τὸ Κ, ἀφ' οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΚΒ, ΚΓ, ΚΔ, ΚΖ· ἡ δὲ ΚΒ πρὸς ὀρθὰς ἔστω τῇ ΒΖ. ἐπεὶ οὖν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ▽ῳ τῷ ΚΒΖ ἴσαι εἰσὶν ὑπόκεινται γάρ (?) αἱ ΒΓ, ΓΔ, ΔΖ, μείζων μεῖζον ἐστὶν ἡ μὲν Ε ΒΚΓ γωνία τῆς Η ΓΚΔ γωνίας, ἡ δὲ Η ΓΚΔ γωνία τῆς Θ ΔΚΖ γωνίας. μεῖζον ἄρα φαίνεται τὸ μὲν ΒΓ τοῦ ΓΔ, τὸ δὲ ΓΔ τοῦ ΔΖ. εʹ 5. Τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισον διεστηκότα ἄνισα φαίνεται, καὶ μεῖζον αἰεὶ ἀεὶ τὸ ἔγγιον ἔγγειον τοῦ ὄμματος κείμενον. ἔστω γὰρ om. ἴσον τὸ ΓΔ τῷ ΚΛ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β, ἀφ' οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΒΔ, ΒΛ, ΒΚ, ΒΓ. οὐκοῦν τὸ ΓΔ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρᾶται ἤπερ εἴπερ τὸ ΚΛ· μεῖζον ἄρα φαίνεται τὸ ΓΔ τοῦ ΚΛ. ϛʹ 6. Τὰ παράλληλα τῶν διαστημάτων ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενα ἀνισοπλατῆ φαίνεται. ἔστω γὰρ τὸ ΒΓ τῷ ΔΖ παράλληλον διάστημα, om. τὰ δὲ παράλληλα τὰ ΞΛ, ΠΝ, ΒΔ ὄμμα δὲ δ' ἔστω τὸ Κ. λέγω, ὅτι τὰ ΒΓ, ΔΖ ΔΕ ἀνισοπλατῆ φαίνεται, καὶ μεῖζον ἀεὶ τὸ ἔγγιον ἔγγειον διάστημα τοῦ πορρώτερον πορρωτέρου . προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΞ ΚΖ , ΚΛ, ΚΠ, ΚΝ, ΚΒ, ΚΔ, ΚΞ, ΚΠ, ΚΒ, ΚΔ, ΚΝ, ΚΛ καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΞΛ ΖΛ ΠΝ nicht mehr zu erkennen , ΒΔ. ἐπεὶ οὖν μείζων μεῖζον ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΞΚΛ ΖΚΛ ΞΛ γωνία ...α τῆς ὑπὸ om. ΠΚΝ γωνίας, μείζων μεῖζον ἄρα om. φαίνεται καὶ ἡ ΞΛ ΖΛ εὐθεῖα τῆς ΠΝ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΠΝ εὐθεῖα μείζων μεῖζον φαίνεται τῆς ΒΔ εὐθείας. οὐκέτι οὐκ ἔτι οὖν ὀφθήσεται παράλληλα τὰ διαστήματα, ἀλλ' εἰς ἔλαττον καὶ ἀνισοπλατῆ. τὰ ἄρα παράλληλα τῶν διαστημάτων ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενα ἀνισοπλατῆ φαίνεται φαίνονται . οὕτω μέν, εἰ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τὸ ὄμμα τῷ ὁρωμένῳ κέοιτο, εἰ δὲ μετεωρότερον om. τὸ ὄμμα κέοιτο τῷ ὁρωμένῳ, εἰ δὲ μετεωρότερον εἴη τὸ ὄμμα τῷ ὁρωμένῳ, λέγοιτο· εἰ δὲ μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ εἴη τὸ ὄμμα, οὕτως. ἔστω γὰρ τὸ Κ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ om. τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΚΑ, ἀπὸ δὲ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΖΛ nicht mehr erkennbar ΛΖ om. κάθετος ἡ ΑΜ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ο, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΒ, ΚΗ, ΚΖ, ΚΔ, ΚΝ Κ. , ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΜ, ΚΞ ΚΖ , ΚΟ. ἐπεὶ οὖν ἀπὸ μετεωροτέρου μετεώρου τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Μ ἐπέζευκται ἡ ΚΜ, om. ἡ ΚΜ κάθετος ἄρα ἄρα κάθετος ἐστὶν om. ἡ ΚΜ ἐπὶ τὴν ΜΛ ΛΜ ΖΛ . ὁμοίως δὴ καὶ ἡ ΚΞ ἐπὶ τὴν ΗΝ ΚΝ .. ΠΝ (?) , ἡ δὲ ΚΟ ἐπὶ τὴν ΒΔ. ὀρθογώνια ἄρα ἐστὶ ἐστὶν τὰ ΚΜΛ, ΚΞΝ ΚΞ. , ΚΟΔ Κ.Δ τρίγωνα ▽α . καί ἐστιν ἡ μὲν ΞΝ .. om. del. ἐπὶ τὴν ΗΝ τῇ ΜΛ ἴση· παραλληλόγραμμον γὰρ τὸ ΜΝ· ἑκατέρα δὲ τῶν ΞΚ, ΚΝ μείζων μεῖζον ἐστιν ἑκατέρας τῶν ΜΚ, ΚΛ. μείζων μεῖζον om. ἐστὶν ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΜΚΛ ΚΜΛ τῆς ὑπὸ ΞΚΝ. μεῖζον ἄρα ὀφθήσεται καὶ τὸ ΜΛ τοῦ ΞΝ· ὁμοίως καὶ τὸ ΖΜ τοῦ ΗΞ ΠΞ . om. ὥστε καὶ ὅλη ἡ ΖΛ ὅλης τῆς ΗΝ μείζων φαίνεται. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὅλη καὶ ἡ ΗΝ ΛΝ ΛΖ τῆς ΒΔ. ἀνισοπλατῆ ἄρα καὶ οὕτω om. φαίνεται τὰ μεγέθη ἄρα φαίνεται καὶ οὕτω τὰ μεγέθη om. . ζʹ 7. Τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντα ἴσα ἴσα ὄντα ὄντα μεγέθη om. μὴ ἐφεξῆς ἀλλήλοις πορρωτέρω ἀλλήλων τεθέντα ἄνισα φαίνεται. ἔστω γὰρ ἴσα μεγέθη τὰ ΒΓ, ΔΖ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ ὄμματος τοῦ Κ om. καὶ ἀπὸ τοῦ κ ὄμματος προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΚΒ, ΚΓ, ΚΔ, ΚΖ· ὀρθὴ δὲ ἔστω ἡ ὑπὸ ΚΖΒ γωνία. οὐκοῦν μείζων ἐστιν ἡ Σ ΖΚΔ γωνία τῆς Φ ΓΚΒ . ὥστε καὶ ἡ ΔΖ μείζων φανήσεται τῆς ΓΒ. ἄνισα ἄρα φαίνεται τὰ ΒΓ, ΔΖ μεγέθη. ηʹ 8. Τὰ .α ἴσα μεγέθη om. καὶ καὶ παράλληλα ἄνισον διεστηκότα om. καὶ παράλληλος ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἀπὸ τοῦ ὄμματος οὐκ ἀναλόγως τοῖς ἀποστήμασιν διαστήμασιν ὁρᾶται. ἔστω γὰρ τὸ ΒΓ τῷ ΔΖ ἴσον καὶ κείσθω αὐτῷ παράλληλον, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Κ, καὶ ἀπ' αὐτοῦ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΚΖΓ ΚΖ , ΚΒ, ΚΔ ΚΘΒ, ΚΖ καὶ ΚΕΔ ΚΘΒ, καὶ ΚΕΔ , ὧν ἡ ΚΓ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΓΒ ἔστω ἔστω τῇ ΒΓ . φημὶ δή, ὅτι οὐκ ἀναλόγως φανήσεται τὰ ΒΓ, ΔΖ μεγέθη τοῖς ΓΚ ΚΓ , ΚΖ διαστήμασιν om. . ἐπε γὰρ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΖΚ ΘΖΚ , ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΘΚ· ὥστε καὶ ἡ ΘΚ τῆς ΚΖ ἐστι μείζων μείζων ἐστίν. . ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ τὸ Κ, διαστήματι δὲ τῷ ΘΚ κύκλος ◯οου γραφόμενος ὑπερπεσεῖται τὴν ΚΖ. γεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΕΘΗ. καὶ ἐπεὶ ἐπὶ τὸ ΘΔΚ ΔΘΚ τρίγωνον ▽ον μείζονα λόγον ἔχει πρὸς τὸν τὴν τὸ ΘΕΚ τομέα ἤπερ τὸ ΖΘΚ τρίγωνον ▶ον πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα, ἐναλλὰξ ἐναλὰξ ἄρα τὸ ΘΔΚ ΘΔ τρίγωνον ▶ον om. πρὸς τὸ ΖΘΚ τρίγωνον ▶ον om. μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΕΘΚ τομεὺς om. πρὸς τὸ ΖΘΚ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει εἴπερ ὁ ΕΔΚ τόμευς πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα. συνθέντι συνθέτως ἄρα τὸ om. ΖΔΚ ΖΔΗ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΘΚ τρίγωνον ▶ον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΕΗΚ τομεὺς πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα. ἀλλ' ὡς τὸ ΖΔΚ ΖΚΔ τρίγωνον ▶ον πρὸς τὸ ΖΘΚ τρίγωνον ▶ον , οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς om. πρὸς τὴν ΖΘ, ὡς δὲ ὁ om. ΗΕΚ ΕΚ τομεὺς πρὸς τὸν om. ΗΘΚ τομέα, οὕτως ἡ ὑπὸ om. ΔΚΖ ΔΚΗ γωνία γω γωνίαν πρὸς τὴν ὑπὸ ΘΚΖ. ἐν μείζονι λόγῳ ἄρα ἄρα λόγῳ ἐστὶ ἐστὶν καὶ ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΖΘ ἤπερ ἡ Σ, Ρ ΕΚΖ γωνία γώ πρὸς τὴν Ρ ΘΚΖ γωνίαν γωαν om. . ὡς δὲ ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΖΘ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΖ ΖΚ · καὶ ἡ ΚΓ ἄρα πρὸς τὴν ΚΖ ΖΚ ἐν μείζονι λόγῳ ἐστιν ἤπερ ἡ Σ, Ρ ΕΚΖ γωνία γώ πρὸς τὴν Ρ ΘΚΖ γωνίαν γωαν . καὶ ἐκ μὲν τῆς τῇ Σ, Ρ ΕΚΖ ΒΚΖ γωνίας γώας τὸ ΔΖ ὁρᾶται, ἐκ ἐν δὲ τῆς τῇ Ρ .Ρ ΒΚΓ γωνίας γωνίᾳ τὸ ΒΓ. οὐκ ἀνάλογον ἄρα τοῖς ἀποστήμασι τὰ ἴσα μεγέθη ὁρᾶται. θʹ 9. Τὰ ὀρθογώνια μεγέθη ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενα περιφερῆ φαίνεται. ἔστω γὰρ ὀρθογώνιον τὸ ΒΓ [ἑστὼς μετέωρον] om. ἑστὼς μετέωρον ἐστὸν μετέωρον ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενον. οὐκοῦν ἐπεὶ ἕκαστον τῶν ὁρωμένων ἔχει τι μῆκος ἀποστήματος, οὗ γενόμενον γενομένου οὐκέτι οὐκ ἔτι ὁρᾶται, ἡ μὲν Γ ἄρα γωνία οὐχ ὁρᾶται, τὰ δὲ Δ, Ζ σημεῖα μόνον φαίνεται. ὁμοίως καὶ ἐφ' ἑκάστης τῶν λοιπῶν γωνιῶν τοῦτο συμβήσεται. ὥστε ὅλον περιφερὲς φανήσεται. om. τὰ ἄρα ὀρθογώνια μεγέθη ἑξῆς τὰ ἄρα ὀρθογώνια μεγέθη ἑξ ἀποστήματος ὁρώμενα περιφερῆ φαίνεται ιʹ 10 Τῶν κάτω τοῦ ὄμματος ἐπιπέδων κειμένων κειμένων ἐπιπέδων τὰ πόρρω μετεωρότερα φανεῖται φαίνεται . ἔστω γὰρ ὄμμα τὸ Β ἄνω τοῦ ΓΚ ἐπιπέδου κείμενον, ἀφ' οὗ ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΓ, ΒΔ ΓΔ Β. , ΒΖ, om. ΒΕ, ΒΚ, ὧν ἡ ὁ ΒΚ κάθετος ἔστω ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον. λέγω, ὅτι τὸ ΓΔ τοῦ ΔΖ ΖΕ, μετεωρότερον φαίνεται, τὸ δὲ ΔΖ τοῦ ΖΚ. εἰλήφθω [γὰρ] γὰρ δὲ ἐπὶ τῆς ΖΚ τυχὸν σημεῖον τὸ Ε, καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς om. τῇ ΖΚ ἡ ΕΗ. καὶ ἐπεὶ αἱ ὄψεις πρότερον πρὸς τὴν ΗΕ προσπίπτουσιν ἤπερ πρὸς τὴν ΕΓ, προσπιπτέτω τῇ ΗΕ ἡ μὲν ΒΓ κατὰ τὸ Η σημεῖον, ἡ δὲ ΒΔ κατὰ κα τὸ Λ, ἡ δὲ ΒΖ κατὰ τὸ om. Μ Β . ἐπεὶ οὖν ἐπεὶ οὖν ἐπεὶ οὖν τὸ Η τοῦ τῷ Λ μετεωρότερον om. ἐστι , τὸ δὲ Λ τοῦ Μ Β , ἀλλ' ἐν ᾧ ἐστι τὸ Η ἦτα , ἐν τούτῳ τὸ Γ, ἐν ᾧ δὲ τὸ Λ, ἐν τούτῳ τὸ Δ, ἐν ᾧ δὲ τὸ Μ, ἐν τούτῳ τὸ Ζ, διὰ δὲ τῶν ΒΓ, ΒΔ ἡ ΔΓ Δ φαίνεται, διὰ δὲ τῶν ΒΔ, ΒΖ ἡ ΖΔ, διὰ δὲ τῶν ΒΖ, ΒΚ ἡ ΚΖ, ἐπεὶ αἱ ΒΓ, ΒΔ ὄψεις, ὑφ' ὧν ὁρᾶται τὸ ΓΔ ἐπίπεδον, μετεωρότεραι εἰσί τῶν ΒΖ, ΒΕ, ὄψεων, ὑφ' ὥν ὁρᾶται τὸ ΖΕ. om. οὐκοῦν ἡ μὲν ΓΔ τῆς ΖΔ ΔΖ μετεωροτέρα φαίνεται, ἡ δὲ ΖΔ ΔΖ τῆς ΖΚ· τὸ μὲν ΓΔ τοῦ ΖΕ μετεωρότερον φαίνεται, τὸ δὲ ΖΕ τοῦ ΕΚ. τὰ γὰρ ὑπὸ μετεωροτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα φαινόμενα μετεωρότερα φαίνεται. Getilgt. ΒΚ. οὐκοῦν τῶν ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος πρὸς τὸ ΓΚ ἐπίπεδον προσπιπτουσῶν ἀκτίνων μετεωροτάτη ἐστι ἡ ΒΓ ἤπερ ἡ ΒΖ. ὁμοίως δὴ καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς οὐκοῦν τὸ μὲν Γ τοῦ Ζ μετεωρότερον φανεῖται τὸ δὲ Ζ τοῦ Δ, τὸ δὲ Δ τοῦ Κ. om. τοῦτο ζητ ἄλλως ἀπί ἄλλου αντιγρα τοῦ ......... τῶν ἄρα κάτω τοῦ ὄμματος κειμένων καὶ τὰ ΔΞ, ΗΣ. ιαʹ 11. Τῶν ἄνω τοῦ ὄμματος ἐπιπέδων ἐπιπέδον κειμένων κειμένων ἐπιπέδων τὰ πόρρω πόῤρρω ταπεινότερα φανεῖται φαίνεται . ἔστω γὰρ ὄμμα τὸ Β κάτω om. δὲ τοῦ ΔΖ ἐπιπέδου κείμενον, ἀφ' οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ αἱ ἀκτῖνες αἱ ΒΔ, ΒΓ ΒΓ, ΒΔ , ΒΖ, ὧν ἡ ΒΖ ΖΒ κάθετος ἔστω om. ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον. λέγω, ὅτι τὸ ΓΔ ΔΓ τοῦ ΓΖ ταπεινότερον φαίνεται. διὰ δὴ τὸ ὅ προεκτεθὲν θεώρημα om. ταπεινοτάτη τῶν ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος πρὸς τὸ ΔΖ ἐπίπεδον προσπιπτουσῶν ἀκτίνων ἐστὶν ἡ ΒΔ, ἡ δὲ ΒΓ τῆς ΒΖ ταπεινοτέρα ταπεινότερον . ἀλλὰ διὰ μὲν μὴν τῶν ΒΔ, ΒΓ ἀκτίνων τὸ ΔΓ φαίνεται, διὰ δὲ τῶν ΒΓ, ΒΖ τὸ ΓΖ. om. τὸ ΔΓ ἄρα ταπεινότερον τοῦ ΓΖ ὁρᾶται. om. (?) πεινοτάτη τῶν ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος πρὸς τὸ ΔΖ ἐπίπεδον προσπιπτουσῶν ἀκτίνων ἐστὶν ἡ ΒΔ καὶ ἀπώτερον φαίνεται τὸ Δ. τὸ Δ ἄρα ταπεινότερον φαίνεται τοῦ Γ. τὸ δὲ Γ τοῦ Ζ. οὐκοῦν τῶν ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος πρὸς τὸ ΔΖ ἐπίπεδον προσπιπτουσῶν ἀκτίνων μετεωροτάτη ἐστι ἡ ΒΔ καὶ ἀπώτερον φαίνεται τὸ Δ. om. Getilgt τὸ Δ ἄρα ταπεινότερον φαίνεται τοῦ Γ. τὸ δὲ Γ τοῦ Ζ. καὶ ἀπώτερον φαίνεται τὸ Δ. τὸ Δ ἄρα ταπεινότερον φαίνεται τοῦ Γ. τὸ δὲ Γ τοῦ Ζ. τῶν ἄρα ἄνω τοῦ ὄμματος κειμένων καὶ τὰ ΔΞ, ΗΣ. ιβʹ 12. Τῶν εἰς τοὔμπροσθεν μῆκος ἐχόντων τὰ μὲν ἐν τοῖς δεξιοῖς εἰς τὰ ἀριστερὰ δοκεῖ παρῆχθαι, τὰ δὲ δ' ἐν τοῖς ἀριστεροῖς εἰς τὰ δεξιά. ἔστω γὰρ ὁρώμενα τὰ ΒΓ, ΔΖ, ὄμμα δὲ τὸ Κ, ἀφ' οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις om. λέγω ὅτι αἱ ΚΓ, ΚΑ, ΚΒ, ΚΖ, ΚΗ ΚΝ , ΚΔ. οὐκοῦν τὸ Δ παρῆχθαι δοκεῖ εἰς τὰ τ' ἀριστερὰ ἤπερ τὸ Η Ν . ὁμοίως δὲ καὶ τὸ Β εἰς τὰ δεξιὰ δοκεῖ παρῆχθαι ἤπερ τὸ Α. ὥστε τῶν εἰς τοὔμπροσθεν τοὔμπροσθε μῆκος ἐχόντων τὰ μὲν ἐν τοῖς δεξιοῖς εἰς τὰ ἀριστερὰ δοκεῖ παρῆχθαι, τὰ δὲ ἐν τοῖς om. ἀριστεροῖς εἰς τὰ δεξιά. ιγʹ 13. Τῶν ἴσων μεγεθῶν ὑπὸ τὸ ὄμμα κειμένων τὰ πόρρω κείμενα μετεωρότερα φαίνεται. ἔστω γὰρ ἴσα μεγέθη τὰ ΒΓ, ΔΖ, ΚΛ om. ὑπὸ τὸ ὄμμα τὸ Ν κείμενα, καὶ ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΝ ΝΒ .Ν ΝΝ , ΝΔ, ΝΚ. οὐκοῦν μετεωροτάτη ἐστὶν ἡ ΝΒ τῶν λοιπῶν ἀκτίνων· ὥστε καὶ τὸ Β σημεῖον. τὸ ἄρα ΒΓ τοῦ ΔΖ μετεωρότερον φαίνεται, τὸ δὲ ΔΖ ΛΖ τοῦ ΚΛ. τῶν ἄρα ἴσων μεγεθῶν ὑπὸ τὸ ὄμμα κειμένων τὰ πόρρω κείμενα μετεωρότερα φαίνεται. om. ιδʹ 14. Τῶν ἴσων μεγεθῶν ἄνω τοῦ ὄμματος κειμένων τὰ πόρρω κείμενα ταπεινότερα φαίνεται. ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ ΚΝ, ΛΖ, ΓΔ ἄνω τοῦ ὄμματος κείμενα τοῦ Β, καὶ ἀπὸ τοῦ Β om. ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΝ, ΒΖ, ΒΔ. οὐκοῦν ταπεινοτάτη ἐστὶν ἡ ΒΔ· ὥστε καὶ τὸ Δ. om. ὥστε καὶ τὸ καὶ τὸ καὶ διὰ τοῦτο μὲν ΓΔ ταπεινότερον φαίνεται τοῦ ΛΖ, τὸ δὲ ΛΖ τοῦ ΚΝ. om. τῶν ἄρα ἴσων μεγεθῶν om. καὶ τὰ δζῆς (?) ιεʹ 15. Ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχει τῶν ὑπὸ τὸ ὄμμα κειμένων, προσιόντος μὲν τοῦ ὄμματος μείζονι τὸ ὑπερφαινόμενον φαίνεται μεῖζον, ἀπιόντος δὲ ἐλάττονι μεῖζον. ἔστω γὰρ μεῖζον τὸ ΒΓ τοῦ ΘΖ, καὶ ὄμμα κείσθω τὸ Κ ἄνω τῶν ΒΓ, ΘΖ, καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς διὰ τοῦ Θ ἡ ΚΔ. οὐκοῦν τὸ ΒΓ τοῦ ΘΖ μεῖζον φαίνεται τῷ τὸ ΒΔ· ἴσον ..ον γὰρ ἐφαίνετο τὸ ΘΖ τῷ ΔΓ, ἐπειδὴ ὑπὸ τοῦ αὐτοῦ ὄμματος καὶ τῆς ΚΔ ἀκτῖνος ἑωρᾶτο. πάλιν δὴ μετακείσθω τὸ om. Κ ὄμμα ἐπὶ τὸ Λ, καὶ διὰ τοῦ Θ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ ΛΝ. οὐκοῦν πάλιν τὸ ΒΓ τοῦ ΘΖ μεῖζον φαίνεται τῷ ΒΝ. ἐλάττονι ἐλάττωνι ἄρα φαίνεται ὑπερέχον τὸ ΒΓ τοῦ ΘΖ ἀπιόντος τοῦ ὄμματος ἤπερ προσιόντος. ιϛʹ 16. Ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχει κάτω τοῦ ὄμματος κειμένου, προσιόντος μὲν τοῦ ὄμματος ἐλάττονι ἐλάσσονοι μεῖζον τὸ ὑπερφαινόμενον φαίνεται, ἀπιόντος δὲ μείζονι μεῖζον. ἔστω μεῖζον τὸ ΒΖ τοῦ ΘΚ ΘΗ , καὶ om. ἀπὸ τοῦ Λ Κ ὄμματος κάτω κειμένου προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ ΛΓ ΚΓ διὰ τοῦ Θ. οὐκοῦν τὸ ΒΖ τοῦ ΘΚ ΘΗ μεῖζον φαίνεται τῷ ΒΓ. μετακείσθω δὴ δὲ τὸ Λ Κ ὄμμα ἐπὶ τὸ Ν, καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ ΝΔ διὰ τοῦ Θ. οὐκοῦν πάλιν τὸ ΒΖ τοῦ ΘΚ ΘΗ μεῖζον φαίνεται τῷ τὸ ΒΔ. προσιόντος μὲν ἄρα τοῦ ὄμματος ἐλάττονι ἐλάττον μεῖζον φαίνεται ὑπερέχον τὸ ΒΖ τοῦ ΘΚ ΘΗ , ἀπιόντος δὲ μείζονι μεῖζον . ιζʹ 17. Ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχει τοῦ ὄμματος ἐπ' εὐθείας τῷ ἐλάσσονι μεγέθει μεγέθη ὄντος ὄντως , προσιόντος τε καὶ ἀφισταμένου τοῦ ὄμματος τῷ ἴσῳ αἰεὶ ἀεὶ δόξει τὸ ὑπερφαινόμενον τοῦ ἐλάσσονος ὑπερέχειν. ὑπερεχέτω γὰρ τὸ ΒΔ τοῦ ΘΗ ΘΝ τῷ ΒΓ ΚΓ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΘ ἐκβεβλήσθω, καὶ ἔστω τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ τὸ Ζ. οὐκοῦν ἡ om. ἀπὸ τοῦ Ζ ἀκτὶς προσπίπτουσα κατὰ τὴν ΖΓ ἐνεχθήσεται. πάλιν δὴ δὲ μετακείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ τὸ Κ. οὐκοῦν διὰ τὰ αὐτὰ ἡ ἀπὸ τοῦ Κ ὄμματος ἀκτὶς προσπίπτουσα κατὰ τὴν ΚΓ ἐνεχθήσεται. τῷ αὐτῷ ἄρα ὑπερέξει τὸ ΒΔ τοῦ ΘΗ ΘΝ καὶ προσιόντος τοῦ ὄμματος καὶ ἀφισταμένου. ιηʹ 18. Τὸ δοθὲν ὕψος γνῶναι om. ὕψος , πόσον ἐστίν. ἔστω γάρ om. , ὃ δεῖ δὴ ἐπιγνῶναι ὕψος ὃ ὕψος δή ἐπιγνῶναι , πόσον ἐστί, om. τὸ ΒΓ Β ΒΔ (?) , καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡλίου διὰ τοῦ Β ἡ ΒΔ. οὐκοῦν σκιὰ ἔσται ἡ ΓΔ. ἔλαβον λαβὲ δή τι τὸι γνώριμον μέγεθος τὸ ΚΖ καὶ ἐνήρμοσα ἐνήρμοσται ἐνάρμοσον ὑπὸ τὴν πρὸς τῷ Δ γωνίαν παράλληλον τῇ τὴν ΒΓ. οὐκοῦν ἐστιν, ὡς τὸ ΔΓ ΒΔΓ πρὸς τὸ ΓΒ, οὕτως οὕτω τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΚ. καὶ γνώριμος ὁ λόγος ὁ τῆς ΔΖ πρὸς om. τὸ ΖΚ· γνώριμος ἄρα καὶ ὁ τῆς ΔΓ πρὸς om. τὸ ΓΒ. καί ἐστι ἐστιν ἔστω γνώριμος ἡ ΔΓ σκιά· γνώριμον ἄρα καὶ τὸ ΓΒ ὕψος. om. τὸ ἄρα δοθὲν ὕψος ἔγνωσται πόσον ἐστίν ιθʹ 19. Μὴ ὄντος ἡλίου τὸ δοθὲν ὕψος γνῶναι, ἡλίκον ἐστίν ἐστί . ἔστω γάρ, ὃ δεῖ ἐπιγνῶναι ὕψος, τὸ ὕψος ὃ δεῖ ἐπιγνῶναι πηλίκον ἐστίν ἐστὶ , τὸ ΒΓ, καὶ κείσθω κάτοπτρον τὸ ΚΑ ΚΔ Κ ΑΚ , ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Δ, καὶ ἀπ' αὐτοῦ προσπιπτέτω ἀκτὶς om. τῷ κατόπτρῳ om. ἡ ΔΘ καὶ ἀνακεκλάσθω ὡς ἡ ΘΒ ἐπὶ τὸ Β πέρας ἄχρις οὗ συμβαλεῖ τῷ πέρατι τοῦ ΒΓ μεγέθους τῷ Β , καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ὄμματος κάθετος om. ἤχθω ἡ ΔΖ. οὐκοῦν ἴσαι εἰσὶν αἱ πρὸς τῷ τὸ Θ γωνίαι ἀλλήλαις· τοῦτο γὰρ δείκνυται ἐν τοῖς Κατοπτρικοῖς. om. ἀλλὰ καὶ ἡ πρὸς τῷ τὸ Γ τῇ πρὸς τῷ τὸ Ζ ἴση ἐστίν· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα αὐτῶν. λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ τὸ Β Ε λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Δ ἴση ἐστίν ἐστί . ὥστε ὅμοιον ἂν εἴη τὸ ΒΓΘ τρίγωνον ▽ον τῷ ΔΖΘ ΔΘΖ τριγώνῳ ▽ῳ . ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΘΓ πρὸς ΓΒ Β , οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς ΖΔ. τῆς δὲ ΘΖ πρὸς ΖΔ om. ὁ τῆς δὲ ΘΔ πρὸς ΖΘ λόγος δοθείς ἐστιν ἐστι · καὶ τῆς ΘΓ ἄρα πρὸς ΓΒ γνώριμος ὁ λόγος ἐστίν ἐστί . γνώριμος δὲ ἡ ΘΓ· γνώριμον ἄρα καὶ τὸ ΓΒ ΑΒ ὕψος. κʹ 20. Τὸ δοθὲν βάθος ἐπιγνῶναι, πηλίκον ἐστίν ἐστί . ἔστω γὰρ om. τὸ βάθος, ὃ δεῖ ἐπιγνῶναι, πηλίκον ἐστίν ἐστί , τὸ ΚΒ ΒΚ , καὶ κείσθω ὄμμα τὸ Δ, καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ ΔΛΚ εἰς τὸ βάθος πέρας τοῦ βάθους , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ παρὰ ἤ· τὴν παράλληλος τὴν ΒΚ ἡ ΔΖ. ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΚ τῇ ΔΖ, καὶ ἐμπέπτωκεν ἡ ΔΚ, τὰς om. ἄρα ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΒΚΛ, ΛΔΖ ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ. εἰσὶ δὲ δὴ καὶ om. αἱ κατὰ κορυφὴν αἱ πρὸς τῷ Λ ἴσαι ἀλλήλαις· καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα γωνία τῇ λοιπῇ ἴση ἐστίν. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ τῷ ΒΚΛ τρίγωνον ▽ον τῷ ΛΔΖ τριγώνῳ ▽ῳ . ἐστίν ἄρα, ὡς ἡ ΛΖ πρὸς ΖΔ, om. οὕτως ἡ ΛΒ πρὸς ΒΚ. δοθεὶς δὲ ὁ τῆς ΛΖ ΛΔ πρὸς ΖΔ λόγος· δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ τῆς ΛΒ πρὸς ΒΚ λόγος. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ΛΒ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΚ. καʹ 21. Τὸ δοθὲν μῆκος ἐπιγνῶναι, πηλίκον ἐστίν. ἔστω γάρ, ὃ δεῖ μῆκος ἐπιγνῶναι, τὸ μῆκος ὃ δεῖ ἐπιγνῶναι πηλίκον ἐστίν ἐστὶ , τὸ ΒΓ. κείσθω δὴ ὄμμα τὸ Δ, ἀφ' οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΔΒ, ΔΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἤχθω παρὰ τὴν ΒΓ ἡ ΖΚ. οὐκοῦν ἐστίν, ὡς ἡ ΖΚ πρὸς ΚΔ, om. οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΔ. γνώριμος δὲ ὁ τῆς ΖΚ πρὸς ΚΔ ΔΚ λόγος· γνώριμος ἄρα καὶ ὁ τῆς ΒΓ πρὸς ΓΔ λόγος. καὶ γνώριμος ἡ ΓΔ· γνώριμος ἄρα καὶ ἡ ΓΒ ΒΓ . κβʹ 22. Ἐὰν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἐν ᾧ om. καὶ τὸ om. ὄμμα, κύκλου περιφέρεια ◯ου Ͻα τεθῇ, εὐθεῖα γραμμὴ ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια ◯ου Ͻα φανεῖται. ἔστω γὰρ περιφέρεια Ͻα ἡ ΒΓ ΓΒ , ὄμμα δὲ τὸ τῷ Δ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὂν τῇ ΒΓ ΒΖΓ περιφερείᾳ Ͻᾳ , ἀφ' οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις ἀκτῖνες αἱ ΔΒ, ΖΔ, ΔΓ ΔΓ, ΔΖ . οὐκοῦν, ἐπεὶ τῶν ὁρωμένων οὐδὲν ἅμα ὁρᾶται, οὐκ ἂν φαίνοιτο ἡ ΖΒ περιφέρεια Ͻα , τὰ δὲ Ζ, Β πέρατα. δόξει ἄρα ἡ ΖΒ περιφέρεια Ͻα εὐθεῖα εἶναι. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΖΓ. ὅλη ἄρα ἡ ΒΓ περιφέρεια Ͻα εὐθεῖα δόξει εἶναι. κγʹ 23. Σφαίρας ὁπωσοῦν ὁρωμένης ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος ἔλαττον αἰεὶ ἀεὶ om. τοῦ ἡμισφαιρίου ἡμι⊕ου ὀφθήσεται, αὐτὸ δὲ τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας ⊕ας ὑπὸ κύκλου ◯ου περιεχόμενον φαίνεται. ἔστω γὰρ σφαῖρα ⊕α , ἧς κέντρον ἔστω om. del. τὸ Κ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΚ, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἤχθω διὰ τοῦ Κ ἡ ΓΚΔ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ om. διὰ τῶν τῆς ΒΚ, ΓΚΔ ΓΚ ΚΔ ΓΚ ΓΔ .ΚΔ ἐπίπεδον· ποιήσει δὴ ἐν τῇ σφαίρᾳ ⊕ᾳ κύκλον ◯ον . ποιείτω δὴ τὸν τὸ ΓΔΛΝ ΓΔΛΖ ΓΔΛΝΖ , περὶ δὲ τὴν ΚΒ ΒΚ [διάμετρον] om. διάμετρον κύκλος ◯ον γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΖ, ΖΒ, ΒΛ, ΛΚ, ΛΖ ΖΛ . οὐκοῦν ἐπεὶ ὀρθαί εἰσιν αἱ ὑπὸ ΚΖΒ, ΒΛΚ ΚΛΒ διὰ τὸ ἐν ἡμικυκλίοις ἡμικυκλίῳ εἶναι καὶ ἐκ κέντρου τὰς ΚΖ, ΚΛ, om. καθ' ἓν σημεῖον ἐφάψονται αἱ ΒΛ, ΒΖ ΒΖ, ΒΛ τῆς σφαίρας ⊕ας · αἱ ἄρα ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος προσπίπτουσαι ἀκτῖνες κατὰ τὰς ΒΖ, ΒΛ πεσοῦνται. καὶ ἐπεὶ ἑκάστη τῶν πρὸς τῷ τῶν Θ γωνιῶν ὀρθή ἐστι ἐστιν διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν ΓΔ τῇ ΖΛ, om. κα..... ἑκάστη τῶν πρὸς τῷ Θ γωνιῶν ὀρθή ἐστι διὰ τὸ παράλληλον εἶναι καὶ ἴση ἡ ΖΘ τῇ ΘΛ, ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΘΒ τὸ ΘΖΒ ΘΒΖ τρίγωνον ▽ον περιενεχθὲν εἰς τὸ om. αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἥ τε ΒΖ περιφερομένη περιφέρεια καθ' ἓν om. σημεῖον ἐφάψεται ἅψεται τῆς σφαιρικῆς ἐπιφανείας κατὰ τὸ Ζ, καὶ κύκλος ἔσται γεγραμμένος διὰ τῶν Ζ, Λ σημείων. ὥστε ὑπὸ κύκλου ἂν περιέχοιτο τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας ⊕ας , ὅ γε καὶ ἔλαττόν ἐστιν ἔσται ἔστη ἡμισφαιρίου ἡμι⊕ου · τὸ γὰρ ΖΛ ΖΝ ΖΗΛ ΖΝΛ ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου. ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῆς ὄψεως περιεχόμενον ὁρώμενον ἔλαττόν ἐστιν ἡμισφαιρίου ἡμι⊕ου . ἡ γὰρ ΖΛ διάμετρος οὖσα τοῦ κύκλου τοῦ διαιροῦντος τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας ἐλάττων ἐστὶ τῆς ΔΓ διαμέτρου οὔσης τῆς σφαίρας κδʹ 24. Τοῦ ὄμματος προσιόντος ἔγγιον ἔγγειον τῆς σφαίρας ⊕ας ἔλαττον ἔσται τὸ ὁρώμενον, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι. ἔστω γὰρ σφαῖρα ⊕α , ἧς κέντρον ἔστω om. τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ὄμματος ἐπεζεύχθω ἐπὶ τὸ κέντρον ἡ ΔΚ, καὶ διὰ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΒΓ, περὶ δὲ τὴν ΔΚ κύκλος ◯ος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΝ ΛΝ Nicht mehr zu erkennen. , ΝΚ, ΔΛ, ΛΚ. οὐκοῦν ὀρθαὶ ἔσονται αἱ πρὸς τοῖς τῇ Λ, Ν γωνίαι διὰ τὸ ἐν ἡμικυκλίῳ ἡμικυκλίοις εἶναι· καθ' ἓν ἄρα ἐφάπτονται αἱ ΔΛ, ΔΝ ΛΝ τῆς σφαίρας ⊕ας . αἱ ἄρα ἀπὸ τοῦ Δ ὄμματος προσπίπτουσαι ἀκτῖνες κατὰ τὰς τῆς ΔΛ, ΔΝ πεσοῦνται. πάλιν δὴ μετακινείσθω τὸ Δ Β ὄμμα ἐπὶ τὸ Ρ, καὶ περὶ τὴν ΡΚ κύκλος ◯ος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΡΖ, ΖΚ, ΡΣ, ΣΚ. οὐκοῦν αἱ ΡΖ, ΡΣ καθ' ἓν ἐφάπτονται τῆς σφαίρας ⊕ας . καὶ αἵ γε ἀπὸ τοῦ Ρ ὄμματος ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς ΡΖ, ΡΣ πεσοῦνται. ὥστε ὁρᾶται ὑπὸ μὲν τῆς Ρ γωνίας γωας τὸ ΖΣ, ὑπὸ δὲ τῆς Δ τὸ ΝΖΛ τὸ ΝΖΣΛ τὸ ΝΛ τὸν ΖΛ · μεῖζον δὲ τὸ ΝΖΛ ΝΖ.Λ ΝΖΣΛ τοῦ ΖΣ ἐστιν ἐστι . φαίνεται δὲ ἔλαττον· μείζων μεῖζον γάρ ἐστιν ἡ Ρ γωνία τῆς Δ γωνίας, τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται. μεῖζον ἄρα φαίνεται om. τὸ ΖΣ τοῦ ΝΖΛ ΖΣΛ ΝΖΣΛ , ἔστι ἐστὶν δὲ ἔλαττον. om. Σφαῖρα ἐκ διαστήματος ὁρωμένη, κύκλος φαίνεται. ἔστω γὰρ ἐν σφαίφᾳ, ἧς κέντρον τὸ κ, μέγιστος κύκλος βγδ, ᾧ ἀπὸ τοῦ θ ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ θβ, θγ, θδ. οὐκοῦν ἡ βγδ περιφέρεια, εὐθεῖα εἶναι δοκεῖ. ὁμοίως δὲ καὶ αἱ ἄλλαι τῶν κύκλων περιφέρειαι ἐν τῇ σφαιρικῇ ἐπιφανείᾳ γραφομένων, εὐθεῖαι φανήσονται. κύκλος ἄρα φανεῖται ἡ σφαῖρα πόῤῥω κειμένη τοῦ ὄμματος. om. κεʹ 25. Σφαίρας διὰ om. τῶν δύο ὀμμάτων ὁρωμένης, ἐὰν ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ⊕ας ἴση ᾖ τῇ εὐθείᾳ τῇ διεστώσῃ ἀπὸ τῶν ὀμμάτων, ἡμισφαίριον ἡμι⊕ον αὐτῆς ὀφθήσεται. ἔστω γὰρ σφαῖρα ⊕α , ἧς διάμετρος ἡ ΒΓ, καὶ ἀπὸ τῶν Β, Γ ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς αἱ ΒΖ, ΓΛ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἤχθω παρὰ παράλληλος τὴν ΒΓ ἡ ΖΛ, καὶ κείσθω κείσθωσαν ἓν ὄμμα ἐπὶ τοῦ Ζ, τὸ δὲ ἕτερον ἐπὶ τοῦ Λ, ἀπὸ δὲ τοῦ Δ κέντρου κέντρου Δ κέντρου ἤχθω παρὰ παράλληλος τὴν ΒΖ ΖΒ ἡ ΔΚ. οὐκοῦν ἐὰν μενούσης τῆς ΔΚ τὸ ΒΚ παραλληλόγραμμον περιενεχθὲν εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, τὸ περιγραφὲν ὑπὸ τῆς ΒΔ σχῆμα κύκλος ◯ος ἔσται, ὅς γε διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶ τῆς σφαίρας ⊕ας . ὥστε τὸ ἡμισφαίριον ἡμι⊕ον τῆς σφαίρας ⊕ας μόνον ὀφθήσεται ὑπὸ τῶν Ζ, Λ ὀμμάτων. κϛʹ 26. Ἐὰν τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα μεῖζον ᾖ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας ⊕ας , ἡμισφαιρίου ἡμι⊕ου ἡμισφαίριον μεῖζον μεῖζου τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας ⊕ας ὀφθήσεται. ἔστω γὰρ σφαῖρα ⊕α , ἧς κέντρον τὸ Κ, τῶν δὲ τὸ δὲ τῶν ὀμμάτων διάστημα τὸ ΒΓ μεῖζον ὂν τῆς om. ΠΚΡ διαμέτρου τῆς σφαίρας ⊕ας , καὶ διὰ διὰ δὲ τοῦ Κ καὶ τῆς ΒΓ ἐκβεβλήσθω ἐπίπεδον καὶ ποιείτω ἐν τῇ σφαίρᾳ ⊕ᾳ κύκλον ◯ον τὸν ΔΖΝ ΔΝΖ , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες καθ' ἓν om. σημεῖον ἁπτόμεναι αἱ ΒΔ, ΓΖ. οὐκοῦν ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται ἀλλήλαις, ἐπειδὴ ἡ ΒΓ τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ ⊕ᾳ διαμέτρου μείζων ἐστί. συμπιπτέτωσαν δὴ κατὰ τὸ Θ σημεῖον. οὐκοῦν ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ Θ σημείου αἱ ΘΖ, ΘΔ καθ' ἓν ἐφαπτόμεναι προσπεπτώκασιν, ἔλασσον ἂν εἴη τὸ ΖΝΔ ἡμικυκλίου· αἱ γὰρ om. ὑπὸ ΘΖΚ Θ.ΖΚ , ΘΔΚ γωνίαι ὀρθαί εἰσιν εἰσι . τὸ ἄρα λοιπὸν τῆς σφαίρας ⊕ας μεῖζον ἡμισφαιρίου ὁρᾶται ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΓΖ. κζʹ 27. Ἐὰν τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα ἔλασσον ᾖ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας ⊕ας , τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας ⊕ας ἔλασσον ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται. ἔστω γὰρ σφαῖρα ⊕α , ἧς κέντρον τὸ Κ, τῶν δὲ τὸ δὲ τῶν ὀμμάτων διάστημα τὸ ΒΓ ἔλαττον ὂν τῆς om. ΠΚΡ διαμέτρου τῆς σφαίρας ⊕ας , καὶ διὰ τοῦ Κ καὶ τῆς ΒΓ ἐκβεβλήσθω ἐπίπεδον καὶ ποιείτω ἐν τῇ σφαίρᾳ ⊕ᾳ κύκλον ◯ον τὸν τὸ ΖΗΝ ΖΝΗ . ἤχθωσαν δὲ ἀπὸ τῶν Β, Γ ὀμμάτων καθ' ἓν ἐφαπτόμεναι αἱ ΒΖ ΒΓ , ΓΝ Γ. ΓΗ καὶ συμπιπτέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Θ· συμπεσοῦνται γάρ, ἐπειδήπερ ἄνισοί ἄνισί εἰσιν ἥ τε ΓΒ καὶ ἡ om. ΠΡ τῆς σφαίρας ⊕ας διάμετρος del. ἐπειδήπερ ἄνισοί εἰσιν ηστε .... κη. κιηστ.. σφαίρας διάμετρος . οὐκοῦν αἱ ἀπὸ τοῦ Θ σημείου προσπίπτουσαι πρὸς τὴν σφαῖραν ⊕αν ἔλαττον ἡμισφαιρίου ἡμι⊕ου περιλήψονται· τὸ ἄρα ΖΗΝ ΗΖΝ ΖΝΗ ἔλασσον ἡμισφαιρίου ἡμι⊕ου ἐστίν. ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ ὀμμάτων ὁρώμενον ἔλασσον ἂν εἴη ἡμισφαιρίου ἡμι⊕ου . κηʹ 28. Κυλίνδρου ὁπωσοῦν ὁρωμένου ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὑφ' ἑνὸς ὄμματος ἔλαττον ἡμικυλίνδρου ὀφθήσεται. ἔστω γὰρ om. κυλίνδρου τοῦ τὸ om. περὶ τὴν βάσιν κύκλου κέντρον τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος ἤχθω ἐπὶ τὸ Κ ἡ ΝΚ, καὶ διὰ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἤχθω ἡ ΒΓ ΒΚ (?) , περὶ δὲ τὴν ΚΝ ΝΚ Κ. κύκλος ◯ος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΖ, ΖΚ, om. ΝΔ, ΔΚ. οὐκοῦν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Ζ, Δ· καθ' ἓν ἄρα ἐφάπτονται αἱ ΖΝ ΝΖ , ΝΔ, καὶ αἵ γε ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος φερόμεναι ἀκτῖνες κατὰ τὰς ΝΖ, ΝΔ πεσοῦνται· ὥστε τὸ ΖΛΔ μόνον ὀφθήσεται. ἀλλὰ τὸ ΖΛΔ ἔλαττόν ἐστι τοῦ ΓΛΒ ἡμικυκλίου· τὸ ἄρα ΖΛΔ ἔλασσον ἡμικυκλίου ἡμικυλίνδρου ὀφθήσεται, τουτέστιν nichtmehr erkennbar τοῦτ' ἔστιν ὁ κύλινδρος. ὁμοίως γὰρ τῇ βάσει κατὰ πᾶσαν ἐπιφάνειαν ἐπιφάνιαν τοῦ κυλίνδρου δείξομεν om. τὸ αὐτὸ συμβαῖνον . ὥστε ὅλου τοῦ κυλίνδρου τοῦ ἡμίσεος ἡμίσεως ἔλαττον φαίνεται. κθʹ 29. Τοῦ δὲ del. ὄμματος ἔγγιον ἔγγειον τεθέντος τεθεντοου τοῦ κυλίνδρου ἔλασσον μὲν ἔσται ἔσται ἔσται μὲν τὸ περιλαμβανόμενον ὑπὸ τῶν ὄψεων τοῦ κυλίνδρου, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι. ἔστω γὰρ κυλίνδρου τοῦ περὶ τὴν βάσιν κύκλου ◯ου κέντρον τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ἐπὶ τὸ Κ κέντρον ἐπεζεύχθω ἡ ΒΚ, διὰ δὲ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΓΔ, καὶ περὶ τὴν ΚΒ ΒΚ om. del. διὰ δὲ τοῦ Κ κύκλος ◯ος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΝ, ΝΚ, ΒΛ, ΛΚ. διὰ δὴ δὲ τὰ πρότερον τὸ ΛΖΝ ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου ἡμι◯ου , καὶ ὁμοίως τῇ βάσει ὅλου om. τοῦ κυλίνδρου ἔλαττον ἢ ἐστι καὶ om. τὸ ἥμισυ om. ὁραθήσεται. om. om. καὶ προσήχθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ om. Φ, καὶ περὶ τὴν ΦΚ κύκλος ◯ος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΦΡ, ΡΚ, ΚΣ, ΣΦ. οὐκοῦν αἱ ἀπὸ ὑπὸ τοῦ om. Φ ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς ΦΡ, ΦΣ πεσοῦνται, αἱ δέ γε δ' ἀπὸ τοῦ Β κατὰ τὰς ΒΛ, ΒΝ· μεῖζον ἄρα τὸ ΝΖΛ τοῦ ΡΖΣ. δοκεῖ δὲ μεῖζον φαίνεσθαι τὸ ΡΖΣ τοῦ ΝΖΛ· μείζων μεῖζον γὰρ ἡ om. πρὸς τῷ Φ γωνία τῆς om. πρὸς τῷ Β γωνίας. ὥστε καὶ τοῦ κυλίνδρου ἔλαττον μέρος ὀφθήσεται, δοκεῖ δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι. λʹ 30. Κώνου κύκλον ◯ον ἔχοντος τὴν βάσιν om. (καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ τὸν ἄξονα) ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος ὁρωμένου ἔλασσον ἡμικωνίου ἡμικυκλίου ὀφθήσεται. ἔστω γὰρ κώνου βάσις κύκλος ◯ος , οὗ κέντρον τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ἤχθω ἐπὶ τὸ κέντρον ἡ ΒΚ, καὶ διὰ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς τῇ ταῖς ΚΒ .Β ΒΚ ἡ ΝΛ, περὶ δὲ τὴν ΚΒ ΒΚ κύκλος ◯ος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΖ, ΖΚ, ΒΔ, ΔΚ. οὐκοῦν ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Ζ, Δ om. ὡς ἡμικυκλίου ὡς ἡμικύκλου γωνίαι· καθ' ἓν ἄρα ἐφάπτονται αἱ ΒΔ, ΒΖ, καὶ αἵ γε ἀπὸ τοῦ om. Β ὄμματος ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς ΒΔ, ΒΖ πεσοῦνται. ἔσται δὴ ὁρώμενον τὸ ΖΡΔ ΖΔ ἔλασσον ὂν τοῦ ΝΡΛ ΡΔ . ἀλλὰ τὸ ΝΡΛ ΡΛ ἡμικύκλιόν ἐστιν ἐστι · τὸ ἄρα ΖΡΔ ἔλασσόν ἐστιν ἡμικυκλίου. ὥστε καὶ τὸ ὁρώμενον τοῦ κώνου ἔλασσόν ἐστιν ἡμικωνίου· ὁμοίως γὰρ καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν κύκλων τῶν ἐν τῇ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ δείξομεν δείξωμεν . λαʹ 31. Τοῦ δὲ del. ὄμματος ἔγγιον ἔγγειον μετατεθέντος μεταθέντος ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἔλασσον μὲν ἔσται τὸ ὑπὸ τῶν ὄψεων περιλαμβανόμενον μέρος, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι. ἔστω γὰρ κώνου βάσις κύκλος ◯ος , οὗ κέντρον ἔστω om. τὸ Κ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Α, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Κ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΚ, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἤχθω διὰ τοῦ Κ om. ἡ ΓΚΒ ΚΓΒ ΘΒ , γεγράφθω δὲ περὶ τὴν ΑΚ κύκλος ◯ος , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΚ, ΑΔ, ΔΚ. μετακείσθω δὴ τὸ Α om. ὄμμα ἐπὶ τὸ Ν, καὶ περὶ τὴν ΚΝ ΝΚ κύκλος ◯ος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΡ, ΡΚ, ΝΣ, ΣΚ. οὐκοῦν αἱ ἀπὸ τοῦ Α ὄμματος ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς ΑΔ, ΑΖ ΑΖ, ΑΔ πεσοῦνται· ὥστε φανεῖται τὸ ΖΦΔ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ om. ἀπὸ om. τοῦ Ν ὄμματος ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς ΝΡ, ΝΣ πεσοῦνται· ὀφθήσεται ἄρα τὸ ΡΦΣ. μεῖζον δὲ τὸ ΖΦΔ ΖΦΛ ΖΦ. τοῦ ΡΦΣ. φαίνεται δὲ ἔλασσον· μείζων μεῖζον om. δὲ del. γὰρ ἡ πρὸς τῷ τὸ Ν γωνία τῆς πρὸς τῷ τὸ Α γωνίας. λβʹ 32. Κώνου κύκλον ◯ον ἔχοντος τὴν βάσιν, ἐὰν ἀπὸ τῶν συναφῶν τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὴν om. τοῦ κώνου βάσιν om. προσπιπτουσῶν ἀκτίνων εὐθεῖαι διαχθῶσι διὰ τῆς ἐπιφανείας τῆς τοῦ κώνου πρὸς τὴν κορυφὴν αὐτοῦ, διὰ δὲ τῶν ἀχθεισῶν καὶ τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὴν βάσιν τοῦ κώνου προσπιπτουσῶν ἐπίπεδα ἐκβληθῇ, ἐπὶ δὲ δὲ δὲ τῆς κοινῆς τομῆς τῶν ἐπιπέδων τὸ ὄμμα τεθῇ, τὸ ὁρώμενον τοῦ κώνου ἴσον διὰ παντὸς διαπαντὸς ὀφθήσεται τῆς ὄψεως ἐπὶ παραλλήλου =ου nicht mehr zu erkennen. ἐπιπέδου τῷ προϋποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὑπαρχούσης om. . ἔστω γὰρ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΓΔ κύκλος ◯ος , κορυφὴ δὲ τὸ Β σημεῖον, ὄμμα δὲ τὸ Κ, ἀφ' οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΔ, ΚΓ ἁπτόμεναι κατὰ τὰ Γ, Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τῶν Δ, Γ Γ, Δ σημείων ἐπὶ τὴν κορυφὴν τοῦ κώνου αἱ ΔΒ, ΓΒ, καὶ διὰ μὲν τῶν ΓΒ, ΓΚ ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω, διὰ δὲ τῶν ΔΒ, ΔΚ ὁμοίως ἕτερον ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω. om. οὐκοῦν συμπεσεῖται [τὰ ἐπίπεδα] τὰ ἐπίπεδα · αἵ τε γὰρ ΓΒ, ΔΒ ΒΔ συμπίπτουσι καὶ αἱ ΓΚ, ΚΔ. συμπιπτέτωσαν οὖν τὰ ἐπίπεδα, καὶ ἔστω αὐτῶν κοινὴ τομὴ ἡ ΒΚ. λέγω, ὅτι, ὅπου om. δ' ἂν ἐπὶ τῆς ΒΚ τεθῇ τὸ ὄμμα, ἴσον τοῦ κώνου τὸ τοῦ ὁρώμενον φαίνεται. κείσθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΒΚ τὸ Ζ ὄμμα, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ζ παρὰ παράλληλος μὲν τὴν ΚΔ ἡ ΖΝ, παρὰ παράλληλος δὲ τὴν ΓΚ ΚΓ ἡ ΖΣ. οὐκοῦν αἱ ΖΝ, ΖΣ Ζ., Ζ. τῆς τοῦ κώνου ἐπιφανείας κατὰ τὰ Ν, Σ Σ, Ν ἐφάπτονται· τὰ γὰρ ἐν τῇ ΒΓΔ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ τῶν παραλλήλων κύκλων ◯ων τμήματα ὅμοιά ἐστιν ἐστι . τὰ ἄρα ἐν τῇ ΒΔΓ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ διαστήματα ὁρώμενα ἴσα φαίνεται. ἐπεὶ γὰρ om. ἴση ἐστιν, ἣν περιέχουσιν αἱ ΖΣ, ΖΝ, γωνία τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν ΚΓ ΚΝ ΚΓ, ΚΔ , ἴσον ἂν φαίνοιτο τὸ ΣΝ διάστημα τοῦ κώνου τῷ ΔΓ ΓΔ διαστήματι. ὥσθ' ὥστε ὅπου ἂν ἂ τὸ ὄμμα τεθῇ ἐπὶ τῆς ΚΒ εὐθείας, ἴσον ἀεὶ φανεῖται τὸ ὁρώμενον. λγʹ 33. Ἴσον δὲ ἀεὶ τοῦ ὄμματος ἀπὸ τοῦ κώνου ἀπέχοντος om. μετεώρου μὲν τοῦ ὄμματος τεθέντος ἔλασσον φαίνεται φανεῖται τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον, ταπεινοτέρου δὲ μεῖζον. ἔστω γὰρ κώνου κορυφὴ μὲν πρὸς τῷ Δ σημείῳ, βάσις δὲ ὁ om. περὶ τὴν ΒΓ om. κύκλος ◯ος om. ΚΒΕ , καὶ ἤχθω ἡ ΚΘ παρὰ περί τὴν ΒΔ, καὶ κείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Θ. φημὶ δὴ ἔλασσον ὀφθήσεσθαι τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον τεθέντος τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Θ σημείου ἤπερ ἐπὶ τοῦ Σ om. . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐπὶ τὰ Θ, Σ σημεῖα αἱ ΔΘ ΘΔ , ΔΣ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Ν, Λ. οὐκοῦν ἐπί τε τοῦ Ν καὶ ἐπὶ τοῦ Λ σημείου τεθέντος τοῦ ὄμματος om. ὄμματος ἄνισα φαίνεται τὰ ὁρώμενα τοῦ κώνου, καὶ ἔλασσον μὲν φαίνεται om. τὸ τὰ πρὸς τῷ Ν, μεῖζον δὲ τὸ τῷ πρὸς τῷ Λ. ἴσον δὲ τὸ μὲν πρὸς τῷ τὸ Ν τῷ τὸ πρὸς τῷ Θ, τὸ δὲ πρὸς τῷ τὸ Λ τῷ τὸ πρὸς τῷ τὸ Σ, ὡς ἐν τῷ πρὸ αὐτοῦ ἐδείχθη. τοῦ ἄρα ὄμματος πρὸς τῷ τὸ Θ σημείῳ σημείου ὄντος ἔλασσον φαίνεται τὸ ὁρώμενον τοῦ κώνου ἤπερ πρὸς τῷ Σ. λδʹ 34. Ἐν κύκλῳ ◯ῳ ἐὰν ἀπὸ τοῦ κέντρου πρὸς ὀρθάς τις om. ἀχθῇ τῷ τοῦ κύκλου ◯ου ἐπιπέδῳ, ἐπὶ δὲ ταύτης τεθῇ τὸ ὄμμα, ἴσαι αἱ διάμετροι τοῦ κύκλου ◯ου φαίνονται. ἔστω γὰρ κύκλος ◯ος , οὗ κέντρον τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς ἀνήχθω τῷ τὸ ἐπιπέδῳ τοῦ κύκλου ◯ου ἡ ΚΒ, τὸ δὲ ὄμμα κείσθω ἐπὶ τοῦ om. Β, καὶ διάμετροι ἤχθωσαν αἱ ΓΑ ΑΓ , ΔΖ. φημὶ δὴ τὴν ΑΓ τῇ ΔΖ ἴσην φαίνεσθαι. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΑ, ΒΖ, ΒΓ, ΒΔ. οὐκοῦν δύο αἱ ΒΚ, ΚΖ δυσὶ ταῖς ΒΚ, ΚΓ ΚΔ ἴσαι εἰσιν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ om. . ἔστι δὲ καὶ ἡ Ρ ΒΚΓ γωνία τῇ Σ ΒΚΖ γωνίᾳ ἴση· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΒΖ βάσις τῇ ΒΓ ΒΔ βάσει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ om. ΒΔ ΒΓ τῇ ΒΑ ἐστιν ἴση. δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΖ δυσὶ ταῖς ΓΒ, ΒΑ ἴσαι εἰσίν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΔΖ τῇ ΓΑ ΑΓ ἴση· γωνία γω ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΒΑ ΓΑΒ ἴση ἐστίν ἐστί . τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται. ἴση ἄρα ἡ ΓΑ τῇ ΔΖ φαίνεται. λεʹ 35. Καὶ ἐὰν ἡ ὑπὸ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἀναχθεῖσα μὴ πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ἐπιπέδῳ ἐπιπέδῳ τοῦ κύκλου τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ , ἴση δὲ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, ἴσαι om. καὶ οὕτως αἱ διάμετροι φανήσονται. ἔστω om. γὰρ κύκλος ◯ος , οὗ κέντρον τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ μὴ πρὸς ὀρθὰς ἀνήχθω τῷ ἐπιπέδῳ om. τοῦ κύκλου ἡ ΚΒ, ἴση δὲ ἔστω τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ◯ου , καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τοῦ Β σημείου αἱ αὐταὶ ταῖς πρότερον. οὐκοῦν ἐπεὶ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσιν εἰσὶν ἀλλήλαις αἱ ΔΚ, ΚΒ, ΚΖ, om. del. ταῖς ΖΚ, ΚΒ ὀρθὴ ἂν εἴη ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν ΖΒΔ ΖΒ ΒΔ ΒΔ . διὰ τὰ αὐτὰ ταῦτα δὴ καὶ om. ἡ om. ὑπὸ ΑΒΓ ὀρθὴ ἂν εἴη· ἴσαι ἄρα ἔσονται ἀλλήλαις. τὰ δέ γε om. ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται. ἴση ἄρα ἡ ΔΖ τῇ ΑΓ φαίνεται. Ἀλλὰ δὴ ἡ ΑΖ μήτε ἴση ἔστω τῇ ἐκ τοῦ κέντρου μήτε πρὸς ὀρθὰς τῷ τοῦ κύκλου ◯ου ἐπιπέδῳ, ἴσας δὲ γωνίας ποιείτω τὰς ὑπὸ ΔΑΖ, ΖΑΓ καὶ ΕΑΖ ΚΑΖ , ΖΑΒ. λέγω, ὅτι καὶ οὕτως αἱ διάμετροι ἴσαι φανήσονται. ἐπεὶ γὰρ ἴση εἰσι ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΓ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΖ, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν περιέχουσι περιέχουσα , βάσις ἄρα ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστὶν ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΖΑ ΕΖΑ τῇ ὑπὸ ΑΖΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΕΖΑ ΚΖΑ τῇ ὑπὸ ΑΖΒ ἐστιν ἴση. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΖΒ ΔΒΖ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΕΖΓ ΚΖΓ ἐστιν ἴση. ὥστε om. καὶ αἱ διάμετροι ἴσαι φανήσονται om. τῆς ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὸ κέντρου ἴσας περιεχούσης γωνίας μετὰ τῶν διαμέτρων, ἄν τε πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ, ἄν τε μή. . λϛʹ 36. Ἐὰν δὲ om. ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὸ κέντρον προσπίπτουσα τοῦ κύκλου ◯ου μήτε πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ τοῦ κύκλου ◯ου ἐπιπέδῳ μήτε ἴση ᾖ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου μήτε ἴσας γωνίας γωας περιέχουσα μετὰ τῶν ἐκ τοῦ κέντρου, μείζων μεῖζον δὲ ἢ ἐλάσσων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἄνισοι αἱ διάμετροι φανοῦνται. ἔστω γὰρ κύκλος ◯ος , οὗ κέντρον τὸ Α, om. καὶ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ἐπὶ τὸ κέντρον τὸ Α del. καὶ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου εὐθεῖα ἤχθω ἡ ΒΑ καὶ ἔστω μήτε πρὸς ὀρθὰς τῷ ἐπιπέδῳ μήτε ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ◯ου μήτε ἴσας γωνίας περιέχουσα μετὰ τῶν ἐκ τοῦ κέντρου. λέγω, ὅτι αἱ διάμετροι τοῦ κύκλου ◯ου ἄνισοι φανήσονται. ἤχθω γὰρ ἡ μὲν ΓΖ διάμετρος πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ΔΚ ἀνίσους ποιοῦσα γωνίας πρὸς τῇ ΑΒ, om. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, ΒΔ, ΒΖ, ΒΚ ΒΚ, ΒΖ , ἔστω δὲ πρότερον ἡ ΒΑ τῆς ΑΚ μείζων μεῖζον . οὐκοῦν μείζων μεῖζον ἐστὶν ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν ΓΒΖ τῆς περιεχομένης ὑπὸ τῶν ΚΒΔ, ὡς ἐν τοῖς om. προτέροις προτέροις (?) del. θεωρήμασιν om. ἐφεξῆς ἀποδείκνυται ἀποδέδεικται . τὰ δέ γε om. ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται· om. del. ἐὰν δὲ ἡ ΒΑ τῆς ΑΚ ἐλάσσων ᾖ μείζων ἄρα ἡ ΓΖ τῆς ΔΚ ΔΑ φαίνεται. ἐὰν δὲ ἡ ΒΑ τῆς ΑΚ ΑΗ ἐλάσσων ᾖ, μείζων φαίνεται ἡ ΔΚ ΔΗ τῆς ΓΖ. om. ἐὰν ἀπὸ μετεώρου ὄμματος πρὸς κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, ἡ μὲν πρὸς τὸ κέντρον μὴ πρὸς ὀρθὰς τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ, ἡ δὲ κάθετος οὖσα τῷ ἐπιπέδῳ· καὶ ἀπὸ τοῦ σημείου, εἰς ὃ πίπτει ἡ κάθετος, εἰς τὸ κέντρον ἀχθῇ εὐθεῖά τις, ἡ περιεχομένη γωνία ὑπό τε τῆς ἀπὸ τοῦ σημείου εἰς τὸ κέντρον, καὶ τῆς ἀπο τοῦ ὄμματος εἰς τὸ κέντρον, ἐλαχίστη ἐστὶ γωνιῶν ἁπασῶν περιεχομένων ὑπό τε τῆς ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὸ κέντρον, καὶ τῶν διὰ τοῦ κέντρου διαγομένων εὐθειῶν. Ἔστω κύκλος ◯ος , οὗ κέντρον κον κ τὸ Α, ὄμμα δὲ τὸ Β, ἀφ' οὗ ἡ ἐπὶ τὸν κύκλον ◯ον τοῦ κύκλου ἀπὸ τοῦ κύκλου κάθετος ἀγομένη μὴ πιπτέτω ἐπὶ τὸ κέντρον τὸ Α, ἀλλ' ἀλλὰ ἐκτός, καὶ ἔστω ἡ ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Α ἡ ΓΑ, ἔτι δὲ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἡ ΒΑ ΑΒ . λέγω, ὅτι πασῶν τῶν om. διὰ τοῦ Α διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΒΑ γωνίας ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ om. ὑπὸ τῶν del. τῶν ... ΓΑΒ. διήχθω γὰρ εὐθεῖα ἡ ΔΑΕ ΔΑ. ΔΑ ἡ ΔΑΕ εὐθεῖα , om. μὴ πρὸς ὀρθὰς οὖσα δῆλον ὅτι τῇ ΓΑ μὴ πρὸς ὀρθὰς οὖσα δῆλον τῇ ΓΑ καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν τὸ ΔΕ κάθετος ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ἡ ΓΖ ΓΖ (?) , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΖ· καὶ ἡ ΒΖ ἄρα ἐπὶ τὴν ΔΕ κάθετός ἐστιν. ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ om. ἐστιν ἡ ὑπὸ ΓΖΑ, ἡ ὑπὸ ΑΓΖ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ὀρθῆς· μείζων μεῖζον ἄρα ἡ ΑΓ πλευρὰ τῆς ΑΖ. ἡ ΒΑ ΑΒ .Α ἄρα πρὸς τὴν ΑΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΑΓ. ἀλλ' ἀλλὰ ἡ ὑπὸ τῶν del. ΑΓΒ γωνία καὶ ἡ ὑπὸ τῶν del. ΒΖΑ εἰσιν ὀρθαί ὀρθαί εἰσι , καί εἰσιν αἱ ΓΑ, ΑΖ ἄνισοι· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν del. ΖΑΒ τῆς ὑπὸ τῶν del. ΓΑΒ ἐστι ἐστιν μείζων. ὁμοίως δὴ δὲ δειχθήσεται δείξεται , ὅτι καὶ πασῶν τῶν διὰ τοῦ Α διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ om. Σ (?) ΑΒ εὐθείᾳ γωνίαν γωνίας ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν del. ΓΑΒ. Ὅτι om. δὲ ἡ ΖΒ ΒΖ τῇ ΔΕ ἐστι ἐστιν πρὸς ὀρθάς, δείξομεν οὕτως. ἐπεὶ ἡ ΒΓ τῷ τοῦ κύκλου ◯ου ἐπιπέδῳ ἐστὶ ἐστὶν πρὸς ὀρθάς, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΒΓ ἐπίπεδα om. ἐκβαλλόμενα τῷ τοῦ κύκλου ◯ου ἐπιπέδῳ ἐστι ἐστιν πρὸς ὀρθάς. ἓν δὲ τῶν διὰ τῆς ΒΓ ἐκβαλλομένων ἐπιπέδων ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον ἐστι ἐστιν τὸ ΒΓΖ τρίγωνον ▽ον · καὶ τὸ ΒΓΖ ἄρα τρίγωνον ▽ον τῷ τοῦ κύκλου ◯ου ἐπιπέδῳ ἐστι ἐστιν πρὸς ὀρθάς. ἐπεὶ οὖν δύο ἐπίπεδα τό τε τοῦ ΕΔ ΖΕΔ κύκλου καὶ τὸ τοῦ ΒΓΖ τριγώνου ▽ου τριγώνιου τέμνουσιν ἄλληλα, καὶ τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ τομῇ αὐτῶν τῇ ΓΖ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΖΔ ΔΖ ΔΕ ἐν τῷ τοῦ κύκλου ◯ου ἐπιπέδῳ· κάθετος γὰρ ἦκται ἡ ΓΖ ἐπὶ τὴν ΕΔ· καὶ ἡ ΖΔ ΕΔ ἄρα τῷ τοῦ ΒΓΖ τριγώνου ▽ου ἐπιπέδῳ ἐστὶ ἐστὶν πρὸς ὀρθάς. ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΓΖΒ τριγώνου ▽ου τριγώνῳ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ἐστὶν πρὸς ὀρθάς· ἡ ΔΖ ΔΕ ἄρα τῇ ΖΒ ΒΖ ἐστι ἐστιν πρὸς ὀρθάς. ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΒΖ ΖΒ τῇ ΕΖΔ ΕΔ διαμέτρῳ ἐστι ἐστιν πρὸς ὀρθάς. om. ἔτι δὲ δείξομεν ὅτι ἡ ΖΑΒ γωνία τῆς ΓΑΒ γωνίας μείζων ἐστίν. Ἔστω om. γὰρ δύο τρίγωνα ▽α τὰ ΒΓΑ, ΒΖΑ ὀρθὰς ἔχοντα τὰς πρὸς τοῖς Γ, Ζ γωνίας, καὶ ἡ ΒΑ πρὸς om. τὴν ΖΑ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ πρὸς τὴν ΓΑ. λέγω, ὅτι μείζων μεῖζον ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΑΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΓΑΒ γωνίας. ἐπεὶ γὰρ om. ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΖΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΓΑ, καὶ ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΑΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, οὗ ἔχει ἤπερ ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ· ὥστε ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΑ πρὸς ΑΒ. πεποιήσθω πεοιέσθω πεποιείσθω οὖν γὰρ , ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΑΒ τὴν ΑΔ· ἰσογώνια ἄρα ἐστὶ ἐστὶν τὰ τὰ τὰ τρίγωνα ▽α τὰ ΒΓΑ, ΔΖΑ. ὥστε ἴση ἐστὶν ἐστὶ ἡ ὑπὸ ΓΑΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΑΔ. μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΑΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΓΑΒ. om. ἐκ δὲ δὴ τούτων δείξομεν ὅτι om. ἐὰν ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὸ κέντρον προσπίπτουσα, καὶ ἀνίσους γωνίας περιέχουσα μετὰ διαφόρων διαμέτρων μὴ πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ, μείζων δὲ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἄνισοι αἱ διάμετροι φανήσονται, καὶ μείζων ἐφ' ἧν ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὸ κέντρον, ἐστὶ κάθετος. Ἔστω κύκλος ◯ος ὁ ΑΓΒΔ ΑΒΓΔ , καὶ διήχθωσαν om. αἱ δύο διάμετροι αἱ ΑΒ, ΓΔ τέμνουσαι ἀλλήλας πρὸς ὀρθάς, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε τὸ Ε ἔστω , ἀφ' οὗ ἡ ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη ἐπιζευγνημένη ἡ ΕΖ πρὸς ὀρθὰς μὲν ἔστω τῇ ΓΔ, πρὸς δὲ τὴν ΑΒ τυχοῦσαν γωνίαν περιεχέτω, καὶ ἔστω ἡ ΕΖ ἑκατέρας τῶν ἐκ τοῦ κέντρου μείζων μεῖζον . ἐπεὶ οὖν ἡ ΓΔ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ, ΕΖ ἐστι ἐστιν πρὸς ὀρθάς, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΓΔ ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα τῷ διὰ τῶν ΕΖ, ΑΒ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. ἤχθω οὖν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος· ἐπὶ τὴν κοινὴν ἄρα τομὴν πίπτει τῶν om. ἐπιπέδων τὴν ΑΒ. πιπτέτω οὖν καὶ ἔστω ἡ ΕΚ, καὶ διήχθω διάμετρος ἡ ΗΘ, καὶ κείσθω τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου ◯ου ἴση ἡ ΛΜ om. πρὸς ὀρθὰς del. καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Ν τῇ ΛΜ πρὸς ὀρθὰς μετέωρος εὐθεῖα ἡ ΝΞ ΞΝ , καὶ ἔστω ἡ ΝΞ ΞΝ τῇ ΕΖ ἴση· τὸ ἄρα περὶ τὴν ΛΜ γραφόμενον τμῆμα καὶ ἐρχόμενον ἀρχόμενον διὰ τοῦ Ξ μεῖζόν ἐστιν ἔσται om. τοῦ ἡμικυκλίου, ἐπειδήπερ ἡ ΝΞ μείζων μεῖζον ἐστὶν ἑκατέρας τῶν ΛΝ, ΝΜ ΜΝ . ἔστω τὸ ΛΣΞΜ ΛΞΜ Λ.ΞΜ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΛ, ΞΜ. ἡ ἄρα πρὸς τῷ τὸ Ξ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΞΜ ἴση ἐστι ἐστιν τῇ πρὸς τῷ Ε σημείῳ τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὸ Ε καὶ τὰ Γ, Δ σημεῖα. ἐκκείσθω ἔτι κείσθω Nicht mehr erkennbar. τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΖΗ ΖΚ ΖΝ Ζ. ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝ, ΝΟ, καὶ ἀφῃρήσθω ἴση τῇ ΕΖ ἡ ΝΟ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΟ, ΜΟ ΛΘ, ΜΘ Λ., Μ. , καὶ περιγεγράφθω περιγράφθω περὶ τὸ ΛΟΜ τρίγωνον ▽ον τμῆμα κύκλου ◯ου τὸ ΛΟΜ om. . ἔσται ἔστω δὴ καὶ ἡ πρὸς τῷ τὸ Ο σημείῳ γωνία om. ἡ περιεχομένη om. ἡ ὑπὸ τῶν ΛΟ, ΛΜ ΟΜ , ἴση τῇ ὑπὸ τῶν ΗΕΘ ΝΕΘ . ἔτι κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΚ ΕΖΞ ΕΖΗ ΕΖΑ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝΠ ΛΝ ΝΠ , καὶ ἐκκείσθω ἀφῃρήσθω .....σθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΝΠ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΠ, ΠΜ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΛΠΜ τρίγωνον ▽ον τμῆμα κύκλου ◯ου . ἔσται δὴ καὶ ἡ πρὸς τῷ τὸ Π σημείῳ ἴση τῇ ὑπὸ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΑΕΒ ΑΕ, ΕΒ ..Β γωνίᾳ. ἐπεὶ οὖν μείζων μεῖζον ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Ξ τῆς τῇ πρὸς τῷ Ο γωνίας· ἡ μὲν γὰρ πρὸς τῷ Ξ ἴση ἐστὶ ἐστὶν τῇ πρὸς τῷ Σ γωνίᾳ, om. ἀμφότερα γὰρ ἐν τῷ αὐτῷ εἰσι τμήματι· ἡ δὲ πρὸς τῷ Σ om. γωνία del. μείζων μεῖζον ἐστὶ τῆς πρὸς τῷ Ο Β . γωνίας· τριγώνου γὰρ τοῦ ΛΣΟ ἐκτός ἐστιν ἐστι · καὶ ἡ πρὸς τῷ τὸ Ξ ἄρα μείζων μεῖζον ἐστι ἐστιν τῆς τῇ πρὸς τῷ τὸ Ο· καί ἐστιν ἡ μὲν om. πρὸς τῷ τὸ Ξ ἴση τῇ ὑπὸ ΓΕΔ, ἡ δὲ πρὸς τῷ τὸ Ο τῇ ὑπὸ ΗΕΘ ΝΕΘ .ΕΘ , μείζων μεῖζον ἄρα φανήσεται καὶ ἡ ΓΔ τῆς ΗΘ ΝΘ . πάλιν ἡ μὲν πρὸς τῷ τὸ Ο Σ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΕΘ ΝΕΘ .ΕΘ ἐστιν ἴση ἴση ἐστιν , ἡ δὲ πρὸς τῷ Π τῇ ὑπὸ ΑΕΒ· μείζων μεῖζον δὲ ἡ Ο ΗΟ om. γωνία γω τῆς Π. μείζων μεῖζον ἄρα φανήσεται om. καὶ ἡ ΗΘ ΝΘ .Θ τῆς ΑΒ εὐθείας γωνίας εὐθείας γωνίας . Μὴ ἔστω δὴ μείζων ἡ ἀπὸ ὑπὸ om. τοῦ ὄμματος ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη ἐπιζευγνημένη τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἀλλὰ ἀλλ' ἐλάσσων· ἔσται δὴ περὶ τὰς διαμέτρους τοὐναντίον· ἡ γὰρ τότε μείζων τῶν διαμέτρων νῦν ἐλάσσων ἐλάττων φανήσεται, ἡ δὲ ἐλάσσων ἐλάττων μείζων. ἔστω κύκλος ◯ος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ διήχθωσαν δύο διάμετροι τέμνουσαι ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς αἱ ΑΒ, ΓΔ, ἑτέρα δέ τις διήχθω ἡ ΗΘ ΝΘ , ὄμμα δὲ τὸ Ε, ἀφ' οὗ ἡ ἐπὶ τὸ Ζ κέντρον ἐπιζευχθεῖσα ἐπιζευχθησα ζευχθεῖσα ἔστω ἡ ΕΖ ἐλάσσων οὖσα ἑκατέρας τῶν ἐκ τοῦ κέντρου, πρὸς ὀρθὰς δὲ τῇ ΓΔ ἔστω ἔστω τῇ ΓΔ ἡ ΕΖ, καὶ κείσθω τῇ τοῦ κύκλου ◯ου διαμέτρῳ ἴση ἡ ΛΜ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Ν πρὸς ὀρθὰς ἡ ΝΞ ἴση τῇ ΕΖ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΛΜ καὶ τὸ Ξ σημεῖον τμῆμα κύκλου τὸ ΛΞΜ· ἔσται δὴ ἔλασσον ἐλάσσων ἡμικυκλίου, ἐπειδήπερ ἡ ΝΞ ἐλάσσων ἐστι ἐστιν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου. ἔσται ἔστω ἔστ.. om. τὸ ΛΞΜ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΛ, ΞΜ. δὴ ἡ ἄρα ἡ ἄρα πρὸς τῷ Ξ σημείῳ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΞΜ ΛΖΞΜ ΛΞ, ΞΜ ἴση om. ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Ε, περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΕΔ ΓΕ, ΕΔ . ἔτι κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΗ ΕΖ, ΖΝ ΕΖ Ζ. ΕΖ, ΖΗ ἴση ἡ om. ὑπὸ ἀπὸ τῶν ΛΝΟ ΛΝ, ΝΟ , καὶ ἀφῃρήσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΝΟ, καὶ om. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΟ, ΜΟ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΛΜ καὶ τὸ Ο σημεῖον τὸ ΛΟΜ τμῆμα om. κύκλου . om. ἔσται ἡ δὴ δὲ πρὸς τῷ Ο σημείῳ γωνία ἡ om. περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΟΜ ΛΟ ΟΛ Λ. .. ΛΟ, ΟΜ ΛΟ, ΜΟ ἴση ἐστι ἐστιν τῇ πρὸς τῷ Ε τῇ περιεχομένῃ om. ὑπὸ τῶν ΘΕΗ ΘΕΝ . ἔτι κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν om. ΑΖ, ΖΕ ἴση ἡ om. ὑπὸ τῶν ΛΝ, ΝΠ, καὶ ἀφῃρήσθω ἡ ΝΠ ἴση τῇ om. ὑπὸ ΕΖ, καὶ om. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΠ, ΠΜ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΛΜ καὶ τὸ Π ΛΠΜ τρίγωνον τμῆμα κύκλου ◯ου ΛΠΜ τρίγωνον τμῆμαι κύκλου τὸ ΛΠΜ· ἔσται δὴ ἡ om. πρὸς τῷ Π om. σημείῳ γωνία ἡ om. περιεχομένη om. ἡ δὲ ὑπὸ τῶν ΛΠΜ ΛΠ, ΠΜ Λ. .. ἴση τῇ πρὸς τῷ Ε γωνίᾳ γω , περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ ΑΕ, ΕΒ . ἐπεὶ οὖν ἐλάσσων om. ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Ξ τῆς πρὸς τῷ Ο γωνίας om. , ἴση δὲ ἡ μὲν πρὸς τῷ Ο τῇ πρὸς τῷ Ε, περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΘΕ, ΕΗ ΘΕ, ΕΝ ΘΕΗ , ἡ δὲ πρὸς τῷ Ξ τῇ πρὸς τῷ Ε, περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΕΔ, ἐλάσσων ἄρα φανήσεται ἡ ΓΔ ΕΔ τῆς ΗΘ ΝΘ . πάλιν ἐπεὶ ἐλάσσων om. ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Ε, περιεχομένη δὲ ὑπὸ τῶν ΘΕΗ ΘΕΝ τῆς πρὸς τῷ Ε, περιεχομένης om. δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ ΛΕΒ , ἐλάσσων ἄρα φανήσεται καὶ ἡ ΗΘ ΝΘ τῆς ΑΒ. λζʹ 37. Τῶν ἁρμάτων οἱ τροχοὶ ὁτὲ ποτε μὲν κυκλοειδεῖς, ὁτὲ δὲ παρεσπασμένοι φανοῦνται. ἔστω γὰρ τροχός, οὗ διάμετροι αἱ ΔΖ ΔΒ , ΒΓ. οὐκοῦν ὅταν μὲν ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος εἰς τὸ κέντρον νεύουσα πρὸς ὀρθὰς ᾖ εἶ τῷ ἐπιπέδῳ ἢ ἴση τῇ τῷ τοῦ ἐκ τοῦ κέντρου κου , ἴσαι αἱ διάμετροι φανοῦνται, ὡς ἐν τῷ πρὸ αὐτοῦ θεωρήματι ἀπεδείχθη· ὥστε ὁ τροχὸς ὁ τοῦ ἅρματος κυκλοειδὴς φαίνεται τούτων ὑπαρχόντων. παραφερομένου δὲ τοῦ ἅρματος καὶ τῆς ἀπὸ τοῦ ὄμματος νευούσης εἰς τὸ κέντρον ἀκτῖνος μήτε πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῷ τοῦ τροχοῦ ἐπιπέδῳ μήτε ἴσης τῇ ἐκ τοῦ κέντρου αὐτοῦ ἄνισοι αἱ διάμετροι φανοῦνται ὁμοίως διὰ τὸ πρὸ αὐτοῦ δειχθέν· ὥστε παρεσπασμένος παρεσπασμένως παρεσπαρμένος ἂν om. φαίνοιτο ὁ τροχός. ληʹ 38. Ἐὰν μέγεθός τι πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ μετέωρον, τεθῇ δὲ τὸ ὄμμα ἐπί τι σημεῖον τοῦ ἐπιπέδου, καὶ μεθιστῆται μεθίσταται τὸ ὁρώμενον ἐπὶ κύκλου περιφερείας, om. κέντρον ἔχοντος τὸ ὄμμα ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται φανήσεται φανήσετται . ἔστω ὁρώμενόν τι μέγεθος τὸ ΑΒ μετεωρότερον μετεωρώτερον τοῦ ἐπιπέδου, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ, καὶ κέντρῳ κ–ω .εω τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ ΓΒ κύκλος ◯ος γεγράφθω ὁ ΒΔ ΒΔΕ . λέγω, ὅτι, ἐὰν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου ◯ου περιφερείας ͻ Ͻας om. γωνίας om. δὲ del. μεθιστῆται τὸ ΑΒ, ἀπὸ τοῦ Γ ὄμματος ἴσον ἴσος ἀεὶ ὀφθήσεται. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΒ ἐστιν ὀρθὴ ὀρθή ἐστι καὶ ποιεῖ πρὸς τὴν om. ΒΓ ὀρθὴν γωνίαν, πᾶσαι ἄρα αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ Γ πρὸς τὸ τῷ ΑΒ μέγεθος προσπίπτουσαι ἀλλήλαις ἴσας γωνίας ποιοῦσιν. ἴσον ἄρα τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται. ὁμοίως ὁμοῖος δὲ κἂν ἀπὸ τοῦ Γ κέντρου μετέωρος ἀχθῇ εὐθεῖα, καὶ ἐπ' αὐτῆς τὸ ὄμμα τεθῇ ἐπὶ παραλλήλου ὂν τῷ τοῦ ὁρωμένῳ μεγέθει μεγέθη , καὶ μετακινῆται μετακινεῖται τὸ μέγεθος, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον φαίνεται. λθʹ 39. Ἐὰν δὲ τὸ ὁρώμενον πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ om. , μεθιστῆται δὲ τὸ ὄμμα ἐπὶ κύκλου περιφερείας ◯ου Ͻας om. κέντρον ἔχοντος ἔχοντες τὸ σημεῖον κάθ᾽ ὅ συμβάλλει συμβάλλεται τὸ μέγεθος τῷ ἐπιπέδῳ , ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον φανήσεται φαίνεται . ἔστω ὁρώμενον μὲν τὸ ΑΒ μετέωρον ὂν om. καὶ πρὸς ὀρθὰς πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΒΓ κύκλος ◯ος γεγράφθω ὁ ΓΔ. λέγω, ὅτι, ἐὰν τὸ Γ μεθιστῆται ἐπὶ κύκλου περιφερείας ◯ου Ͻας , ἴσον ἀεὶ τὸ ΑΒ φανήσεται. τοῦτο δὲ φανερόν ἐστιν ἐστι · πᾶσαι γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου πρὸς τὸ τῷ ΑΒ προσπίπτουσαι ἀκτῖνες πρὸς ἴσας γωνίας προσπίπτουσιν, ἐπειδήπερ ἡ πρὸς τῷ Β ὀρθή ἐστιν. ἴσον ἄρα τὸ ὁρώμενον φανήσεται. μʹ 40. Ἐὰν δὲ τὸ ὁρώμενον μέγεθος μὴ πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μεθιστῆται μεθίσταται δὲ om. τὸ τῷ ὁρώμενον ἐπὶ κύκλου ◯ου περιφερείας Ͻας περιφερίας , ἄνισον ἀεὶ ὀφθήσεται. om. κατὰ παράλληλον θέσιν τῇ ἐξ ἀρχῆς μεταβαῖνον. ἔστω κύκλος ◯ος ὁ ΑΘ ΑΔ , καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς περιφερείας Ͻας αὐτοῦ σημεῖον σημείου τὸ Δ, καὶ ἀνεστάτω μὴ πρὸς ὀρθὰς τῷ κύκλῳ ◯ῳ εὐθεῖα ἡ ΔΖ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε. λέγω, ὅτι ἡ ΔΖ, ἐὰν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας ◯ου Ͻας μεθιστῆται, ποτὲ om. μὲν μείζων φανήσεται, ποτὲ om. δὲ ἐλάσσων. ἤτοι δὴ ἡ ἤτοι δὲ ἡ ἡ δὲ ἡ ἡ δὴ ΔΖ μείζων μεῖζον ἐστὶ ἐστὶν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἢ om. ἴση ἢ ἐλάσσων. ἔστω πρότερον μείζων μεῖζον , καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ε κέντρου τῇ ΔΖ .. παράλληλος ἡ ΕΓ, καὶ ἔστω ἴση τῇ om. ΔΖ ἡ ΕΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΓΗ ΓΝ Γ. καὶ συμβαλλέτω συμβαλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η Ν σημεῖον, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἐπιζευχθῆσα ἐπεζευχθεῖσα ἡ ΕΗ ΕΝ ἐκβεβλήσθω καὶ συμβαλλέτω τῇ περιφερείᾳ Ͻᾳ κατὰ τὸ Α, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΕΓ παράλληλος ἡ ΑΒ, καὶ ἔστω ἡ ΑΒ τῇ ΔΖ ἴση. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ πασῶν τῶν ἐπὶ τῆς om. τοῦ om. κύκλου περιφερείας ◯ου Ͻας μεθισταμένων εὐθειῶν ἐλάσσων φανήσεται φαίνεται . ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΓΖ, ΕΖ, ΒΓ, ΕΒ. ἔχομεν δὲ δὴ ἐν τῷ παρακειμένῳ τῷ λϛʹ ἑβδόμῳ καὶ τριακοστῷ λϛʹ καὶ θεωρήματι, ὅτι πασῶν τῶν διὰ τοῦ Ε σημείου ἀγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς om. τῇ ΕΓ γωνίαν γωνίας ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΕΑ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΓΕ τῇ ΑΒ παράλληλός ἐστιν , ἀλλὰ καὶ ἴση, καὶ ἡ ΕΑ ΕΒ ἄρα τῇ ΓΒ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν ἐστι om. · παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ ἐστὶν τὸ ΒΕ ΕΒ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμόν ἐστιν ἐστι . καὶ ἐπεὶ δεῖ δὴ δεῖξαι, ὅτι ἔλασσον ἐλάσσων φαίνεται τὸ ΑΒ τοῦ τὸ ΔΖ, δῆλον, ὅτι πρότερον δεῖ δὴ δεῖξαι δεῖ δεῖξαι πρότερον , ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΕΑ γωνία ἐλάσσων ἔλασσον ἐστὶ ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΖΕΔ γωνίας. ἐπεὶ οὖν δέδεικται, ὅτι πασῶν τῶν διὰ τοῦ Ε σημείου σημείων διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΓΕ γωνίας ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΕΑ, ἐλάσσων ἄρα ἐστι ἐστιν καὶ τῆς ὑπὸ ΓΕΔ ἡ ὑπὸ ΓΕΑ. ἐκκείσθω om. δὴ τῷ τὸ τοῦ κύκλου ◯ου κύκλου ΑΔ ἡμικυκλίῳ ἴσον τὸ ΚΑΛ ΚΛ , καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ Ν, καὶ κείσθω τῇ ὑπὸ ΓΕΑ ἴση γωνία ἡ ὑπὸ ΚΝΜ ΚΗΜ , τῇ δὲ ὑπὸ ΓΕΔ ἴση ἡ ὑπὸ ΚΝΟ, καὶ κείσθω τῇ ΔΖ ἑκατέρα τῶν ΟΝ, ΜΝ ΜΝ, ΟΝ ἴση, καὶ διὰ μὲν τοῦ Μ τῇ ΚΝ ἴση καὶ παράλληλος ἤχθω ἡ ΜΠ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΠΚ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ ἐστὶν τὸ ΝΠ καὶ om. ἔστιν ἴσον καὶ ὅμοιον τῷ ΒΕ. πάλιν διὰ τοῦ Ο τῇ ΚΝ ἴση καὶ παράλληλος ἤχθω ἡ ΟΡ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΡΚ· τὸ ΡΝ ἄρα παραλληλόγραμμον ἴσον τε καὶ ὅμοιόν ἐστι ἐστιν τῷ ΖΕ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ διαγώνιοι διαγώνιαι αἱ ΡΝ, ΠΝ. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΚΝΠ γωνία τῆς ὑπὸ ΚΝΡ ΚΝΟ ΚΝ ΚΡ γωνίας ἐλάσσων ἐστίν ἐστί . καί ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ ΚΝΠ ΚΗΠ ἴση τῇ ὑπὸ ΑΕΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΚΝΡ ΚΗΡ ἴση τῇ ὑπὸ ΔΕΖ· ἐλάσσων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ. ὥστε καὶ τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ ΔΖ μεγέθους ἔλασσον ὀφθήσεται. ἐστὶ ἐστὶν ὀφθήσεται τῆς ΖΔ ἴσης τε καὶ ἐλάσσονος τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ὑπαρχούσης. ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ om. ΔΖ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση, καὶ κατεσκευάσθω κατασκευάσθω κατεσκευάσθωσαν πάντα τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον , καὶ κείσθω τῷ τοῦ κύκλου ◯ου κύκλου ΑΔ ἡμικυκλίῳ ἴσον ἡμικύκλιον τὸ τῷ ΘΚΛ ΘΔΛ , καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ om. κέντρον τὸ Ν. καὶ ἐπεὶ ἡ ΔΖ ἴση ὑπόκειται τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ◯ου , ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΖ τῇ ΘΝ. καὶ κείσθω τῇ μὲν ὑπὸ om. τῶν τὸ ΓΕΑ γωνίᾳ γω ἴση ἡ ὑπὸ om. τοῦ (?) τῶν ΘΝΚ, καὶ ἤχθω τῇ ΘΝ παράλληλος ἡ ΚΞ, καὶ τῇ ΘΝ ΘΗ ἀφῃρήσθω ἴση ἡ ΚΞ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΞΘ, τῇ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΕΔ ἴση κείσθω ἡ ὑπὸ τῶν ΘΝΔ ΘΝ , καὶ τῇ ΘΝ Θ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΟ ΛΟ , καὶ ἴση τῇ ΘΝ ἀφῃρήσθω ἡ ΔΟ ΛΟ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΘ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΘΔ ΘΛ ΔΘ , ΘΚ ΘΗ .Κ Κ , καί εἰσιν ἐστιν ἴσα τε καὶ ὅμοια τοῖς τῇ τῆς ΕΖ, ΕΒ. ὥστε καὶ om. ἡ om. μὲν ὑπὸ ΘΝΔ ΘΝΛ γωνία γω ἴση ἐστὶ ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΓΕΔ, ἡ δὲ ὑπὸ ΘΝΚ om. γωνία ἴση ἐστὶ ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΓΕΑ. ἐλάσσων δὲ ἡ ὑπὸ ΓΕΑ τῆς ὑπὸ ΓΕΔ· ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΘΝΚ ΘΝΗ τῆς ὑπὸ om. ΘΝΔ ΘΝΛ . [καὶ] καὶ om. ἐπεζεύχθωσαν αἱ διαγώνιοι αἱ ΞΝ, ΟΝ ΟΗ · ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΘΝΞ ΘΗΞ τῆς ὑπὸ ΘΝΟ. ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΘΝΞ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ ΑΗΒ , ἡ δὲ ὑπὸ ΘΝΟ τῇ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ· ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ om. ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ. ἔλασσον ἄρα ὀφθήσεται τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ ΔΖ μεγέθους· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ ΔΖ ἐλάσσων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ◯ου , καὶ κατεσκευάσθω κατασκευάσθω τὰ om. αὐτὰ τοῖς πρότερον, καὶ κείσθω τῷ τὸ om. τοῦ κύκλου ◯ου κύκλου ΑΔ ἡμικυκλίῳ ἴσον τὸ τῷ ΘΜ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ◯ου τὸ Ν, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΘΝ τῇ ΔΖ ἴση ἡ ΝΞ, καὶ κείσθω τῇ μὲν ὑπὸ ΓΕΑ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ om. ΘΝΚ, τῇ δὲ ὑπὸ ΓΕΔ ἴση ἡ ὑπὸ ΘΝΛ ΘΗΛ , καὶ ἔστω ἴση ἑκατέρα τῶν ΝΚ, ΝΛ ΗΛ τῇ ΔΖ, καὶ ἤχθω διὰ μὲν τοῦ Κ τῇ ΝΞ τῇ ΗΞ τήν Ξ ἴση καὶ παράλληλος ἡ ΚΟ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΞ, διὰ δὲ τοῦ Λ τῇ τῆς τῆ. ΞΝ παράλληλος ἡ ΛΠ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΠΞ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΚΞ, ΞΛ, om. καί ἐστιν τὸ μὲν ΚΞ ΞΛ del. καί ἐστι ἐστιν τὸ μὲν ΚΞ τῷ ΕΒ ἴσον τε καὶ ὅμοιον, τὸ δὲ ΞΛ ΛΞ τῷ ΕΖ· ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΘΝΚ ἴση τῇ ὑπὸ ΓΕΑ, ἡ δὲ ὑπὸ ΘΝΛ τῇ ὑπὸ ΓΕΔ. μείζων δὲ ἡ ὑπὸ ΓΕΔ τῆς ὑπὸ ΓΕΑ Γ Α · μείζων μεῖζον ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΘΝΛ ΘΗΛ τῆς ὑπὸ ΘΝΚ ΘΗΚ . ἐπεζεύχθωσαν αἱ om. ΝΟ, ΝΠ· καὶ ἡ ὑπὸ ΞΝΟ ἄρα om. τῆς ὑπὸ ΞΝΠ ἐλάσσων ἐστίν. om. ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΞΝΟ ἄρα τῆς ὑπὸ ΞΝΠ ἐλάσσων ἐστὶν del. ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΞΝΟ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΞΝΠ om. τῇ ὑπὸ ΔΕΖ· ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ. καὶ βλέπεται ὑπὸ μὲν τῆς om. ΑΕΒ τὸ ΑΒ μέγεθος, ὑπὸ δὲ τῆς ὑπὸ om. ΔΕΖ τὸ ΔΖ. ἔλασσον ἄρα ὀφθήσεται τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ ΔΖ μεγέθους· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. μαʹ 41. Ἔστι τις τόπος, οὗ τοῦ ὄμματος μένοντος μένωντος , τοῦ δὲ ὁρωμένου μεθισταμένου, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον φαίνεται. ἔστω γὰρ ὁρώμενον μὲν μέγεθος τὸ ΒΓ, ὄμμα δὲ τὸ Ζ .Ζ, fortasse ΛΖ, ΔΖ aut ΑΖ , ἀφ' οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΖΓ, ΖΒ ΖΒ, ΖΓ , καὶ περιειλήφθω τὸ ΖΒΓ τρίγωνον ▽ον κύκλῳ τῷ ΔΒΖ ΔΖΒ . λέγω, ὅτι τὸ ΒΓ μεθιστάμενον ἐπὶ ἐ τῆς τοῦ γραφέντος κύκλου περιφερείας ◯ου Ͻας ἴσον ἀεὶ ὁραθήσεται. μετακείσθω γὰρ τὸ ΒΓ ἐπὶ τοῦ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΖ. οὐκοῦν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ περιφέρεια Ͻα τῇ τῇ. τῆς ΓΔ περιφερείᾳ Ͻᾳ τῆς ΓΔ περιφερείας . ἴση ἄρα καὶ ἡ Ρ ΚΡ ΓΖΒ γωνία om. ἴσον ἄρα φαίνεται del. τῇ Σ ΓΖΔ γωνίᾳ τῆς Σ γωνίας . τὰ δὲ ὑπὸ om. τῶν ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται. ἴσον ἄρα φαίνεται om. τὸ τῷ ΒΓ τῷ ΓΔ. om. Τὸ δὲ αὐτὸ συμβήσεται καὶ εἰ τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου μένει, τὸ δὲ ὁρώμενον ἐπὶ τῆς γωνίας μεταβαίνει. ὡς ἐπὶ τῶν ἀστέρων· τὸ αὐτὸ δὲ συμβήσεται καὶ εἰ τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου μένει, τὸ δὲ ὁρώμενον ἐπὶ τῆς γωνίας μεταβαίνει. μβʹ 42. Ἔστι τις τόπος, οὗ τοῦ om. ὄμματος μεθισταμένου, τοῦ δὲ ὁρωμένου μένοντος, ἀεὶ ἴσον τὸ ὁρώμενον φαίνεται. ἔστω γὰρ ὁρώμενον μὲν τὸ ΒΓ, ὄμμα δὲ τὸ Ζ, ἀφ' οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΖΒ, ΖΓ .., ΕΓ , καὶ περιειλήφθω τὸ ΒΖΓ τρίγωνον ▽ον τμήματι κύκλου τῷ ΒΖΓ ΒΔΖΓ , καὶ μετακείσθω τὸ Ζ ὄμμα ἐπὶ τοῦ τῷ τὸ Δ, καὶ μεταπιπτέτωσαν αἱ om. ἀκτῖνες αἱ ΔΒ, ΔΓ. οὐκοῦν ἴση ἡ Ρ .Ρ ΒΔΓ γωνία γω τῇ Σ ΓΖΒ ΒΖΓ · ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τῷ αὐτῷ γὰρ τμήματί εἰσι. τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται. ἴσον ἄρα τὸ ΒΓ διὰ παντὸς φαίνεται τοῦ ὄμματος μεθισταμένου μεθισταμένου τοῦ ὄμματος ἐπὶ τῆς ΒΓΔ ΒΔΓ περιφερείας Ͻας . μγʹ 43. Ἔστι τις τόπος, οὗ τοῦ ὄμματος μεθισταμένου, τοῦ δὲ ὁρωμένου μένοντος, ἄνισον τὸ ὁρώμενον φανεῖται. ἔστω γὰρ ὁρώμενον τὸ τῷ ΚΔ, εὐθεῖα δὲ ἡ ΒΓ συμπίπτουσα τῇ ΚΔ προσεκβαλλομένῃ, καὶ εἰλήφθω τῆς ΔΓ καὶ τῆς ΓΚ μέση ἀνάλογον ἡ ΓΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΚ καὶ ἡ om. ΖΔ, περὶ δὲ τὴν ΚΔ τμῆμα γεγράφθω ὀξεῖαν ἔχον ὀξεῖαν ἔχων nicht mehr erkennbar ὀξεῖαν ἔχει τὴν Φ ΚΖΔ γωνίαν· ἐφάψεται ἐφάψηται ἐφάψειται δὴ τῆς ΒΓ εὐθείας, ἐπείπερ ἐστιν, ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΖΓ .Γ ΓΖ πρὸς τὴν ΓΚ. κείσθω οὖν τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Β σημείου, καὶ προσβεβλήσθωσαν προσεκβεβλήσθωσαν αἱ ΔΒ ΒΔ , ΒΚ, ἐπεζεύχθω δὲ ἡ ΣΔ. οὐκοῦν ἴση om. ἐστὶν ἡ Φ ΚΖΔ γωνία τῇ Σ ΚΣΔ γωνίᾳ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσιν εἰσι . καί ἐστιν ἡ Σ ΚΣΔ τῆς Β ΚΒΔ γωνίας μείζων· καὶ ἡ Φ ΚΖΔ ἄρα γωνία τῆς Β ΚΒΔ μείζων ἐστιν ἐστι . τοῦ ἄρα ὄμματος ἐπὶ τοῦ Ζ ὄντος μεῖζον μείζων φανεῖται τὸ ΚΔ ἤπερ ἐπὶ om. τοῦ Β. om. Ähnlich Prop. 46 aus Heiberg A, jedoch nicht identisch. Unter den berücksichtigten die einzige Handschrift der Fassung B, die diesen Text überhaupt führt. Ἔστι τις τοπος, οὗ τοῦ ὄμματος μετατιθεμένου ἴσων μὲν ὄντων τῶν καὶ πρὸς ὀρθὰς τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ποτὲ μὲν ἴσα, ποτὲ δὲ ἄνισα φαίνεται. ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ὄντα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ. λέγω, ὅτι ἔστι τις τόπος, οὗ τοῦ ὄμματος μεθισταμένου τὰ ΑΒ, ΓΔ ποτε μὲν ἴσα ποτε δὲ ἄνισα φαίνεται. ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ε. ἤχθω πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἡ ΕΖ. λέγω, ὅτι, ἐὰν ἐπὶ τῆς ΕΖ τὸ ὄμμα τεθῇ, τὰ ΑΒ, ΓΔ ἴσα φαίνεται. κείσθω γὰρ ἐπὶ τοῦ Ζ καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΖ, ΖΑ, ΖΓ, ΖΔ. ἴση ἄρα ἡ ΖΒ τῇ ΖΔ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ ὑπόκειται ἴση· δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΖ δυσὶ ταῖς ΓΔ, ΔΖ ἴσαι εἰσί. καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν· βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστίν. ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΖΓ ἴσα ὀφθήσεται. μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Η. λέγω, ὅτι καὶ ἄνισα ὀφθήσεται. προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΗΒ, ΗΑ, ΗΓ, ΗΔ. μείζων ἄρα ἡ ΗΒ τῆς ΗΔ. ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΗΒ τῇ ΗΔ ἴση ἡ ΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΘ. ἴση ἄρα γωνία ἡ ὑπὸ ΒΘΑ τῇ ὑπὸ ΓΗΔ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΒΘΑ τῆς ὑπὸ ΒΗΑ μείζων. ἐκτὸς γὰρ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΔ ἄρα τῆς ὑπὸ ΒΗΑ μείζων. ὥστε καὶ ἡ ΓΔ μείζων τῆς ΑΒ φανήσεται. μδʹ 44. Τὸ δ' δὲ αὐτὸ συμβήσεται, κἂν παράλληλος ᾖ ἡ om. γραμμὴ γρ τῷ ὁρωμένῳ μεγέθει, ἐφ' ἧς τὸ ὄμμα μεθίσταται. ἔστω γὰρ παράλληλος ἡ ΒΓ τῷ ὁρωμένῳ τῷ ΔΖ, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ΔΖ κατὰ τὸ Κ, πρὸς ὀρθὰς δὲ ἀνήχθω διανήοίχθω ἡ ΚΝ. κείσθω οὖν τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Ν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΔ, ΝΖ, περὶ δὲ τὴν ΔΖ τμῆμα γεγράφθω, ὃ δέξεται τὴν Φ, Α Φ, Λ Φ, . ΔΝΖ γωνίαν γωαν . ἐπεὶ οὖν διάμετρός ἐστιν ἡ ΚΝ ΒΝ , καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀπ' ἄκρας ἦκται ἡ ΚΝ Κ. ΒΝ τῇ ΒΓ, ἡ ΒΓ ἄρα ἐφάπτεται ἐφάπτηται τοῦ ΔΝΖ τμήματος. μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Γ τὸ Γ , καὶ προσβεβλήσθωσαν προβεβλήσθωσαν ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΓΖ, ΓΔ, ἐπεζεύχθω δὲ ἡ ΡΖ. οὐκοῦν ἴση ἡ Φ, Α Φ, Λ Φ, . ΔΝΖ γωνία γω τῇ Ρ ΔΡΖ γωνίᾳ γω . ἡ δὲ Ρ ΔΡΖ τῆς Σ ΔΓΖ Γ γωνίας μείζων ἐστιν ἐστι · μείζων ἄρα καὶ ἡ Φ, Α Φ, Λ Φ, . ΔΝΖ τῆς Σ ΔΓΖ . τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται· μεῖζον ἄρα φανεῖται τὸ ΔΖ δὲ Ζ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Ν κειμένου ἤπερ ἐπὶ τοῦ Γ. τοῦ ἄρα ὄμματος ἐπὶ τῆς τὴν ΒΓ μεθισταμένου παραλλήλου οὔσης om. καὶ τῇ ΔΖ ἄνισον φαίνεται τὸ ὁρώμενον. μεʹ 45. Ἔστι τις τῆς om. τόπος κοινός om. , ἐν ᾧ τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισα φαίνεται. ἔστω γὰρ ἴση ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ, καὶ περὶ μὲν τὴν ΒΓ ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ ΒΖΓ, περὶ δὲ τὴν ΓΔ τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ. οὐκοῦν ἡ om. ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία μείζων ἐστι ἐστιν τῆς ἐν τῷ μείζονι μείζωνι τμήματι. τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται· μείζων μεῖζον τῷ ἄρα om. ὄμματι τιθεμένῳ ἐπὶ τοῦ Ζ, μείζων om. ἂν φαίνοιτο ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ φαίνεται om. φαίνοιτο · ἦν δὲ καὶ ἴση. ἐστιν ἄρα τόπος κοινός, ἐν ᾧ τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισα φαίνεται. Es handelt sich hier um ein Scholion, das in Hs. 30 im Haupttext steht. om. Ὅτι δὲ δύναται τέμεσθαι τὸ ὑμικύκλιον ὑπὸ τοῦ μείζονος τμήματος καὶ ποῦ, οὕτως ἔσται δῆλον. ἔστωσαν ἴσαι αι ΑΒ, ΒΓ, περιγεγράφθω ἡμικύκλιον περὶ τὰ ΑΒ, ΑΘΒ καὶ τῷ Β σημείῳ γωνεία ὀξεῖα ἡ ὑπὸ ΓΒΔ πρὸς δὲ τῷ Γ ἴση τῇ ΒΗΓ καὶ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Δ καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ κέντρον τὰ ΘΒ, ὅ ἐστι το Ε, ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ καὶ κείσθω τῇ ΒΖ περιφερεία ἴση ἡ ΖΘ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΘ, ΘΕ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΘΕ τῇ ΕΒ ἴση, κοινὴ δὲ ἡ ΕΔ καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, ἐπεὶ καὶ ἡ ΘΖ περιφέρεια τῇ ΖΒ ἐστὶν ἴση, ἴση ἄρα ἡ ΘΔ τῇ ΔΒ, ἡ δὲ ΔΒ τῇ ΔΓ. ὡστε ὁ κέντρῳ τῷ Δ διαστήματι δὲ τῶν ΔΘ γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὸ ἡμικύκλιον καὶ διὰ τοῦ Β ἐλεύσεται. Ὅτι δὲ δύναται τέμεσθαι τὸ ἡμικύκλιον ἀπὸ τοῦ μείζονος τμήματος καὶ ποῦ, οὕτως ἔσται δῆλον. ἔστωσαν ἴσαι αι ΑΒ, ΒΓ, περιγεγράφθω ἡμικύκλιον περὶ τὰ ΑΒ, ΑΘΒ καὶ τῷ Β σημείῳ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΒΔ πρὸς δὲ τῷ Γ ἴση τῇ ΒΗΓ καὶ συμπιπτέτω ἀκτίς del. κατὰ τὸ Δ καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ ΑΘΒ ὅ ἐστι τὸ Ε, ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ καὶ κείσθω τῇ ΒΖ περιφερεία ἴση ἡ ΖΘ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΘ, ΘΕ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΘΕ τῇ ΕΒ ἴση, κοινὴ δὲ ἡ ΕΔ καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, ἐπεὶ καὶ ἡ ΘΖ περιφέρεια τῇ ΖΒ ἐστὶν ἴση, ἴση ἄρα ἡ ΘΔ τῇ ΔΒ, ἡ δὲ ΔΒ τῇ ΔΓ. ὡστε ὁ κέντρῳ τῷ Δ διαστήματι δὲ τῶν ΔΘ γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὸ ἡμικύκλιον καὶ διὰ τοῦ Β ἐλεύσεται. Ὅτι δὲ δύναται τέμεσθαι τὸ ἡμικύκλιον ὑπὸ τοῦ μείζονος τμήματος καὶ ποῦ, οὕτως εἶναι δῆλον. ἔστωσαν ἴσαι ΑΒ, ΒΓ, περιγεγράφθω ἡμικύκλιον περὶ τὰ ΑΒ, ΑΘΒ. καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΓ, καὶ τῷ Β σημείῳ, γωνεία ὀξεῖα ἡ ἁπὸ ΓΒΔ, πρὸς δὲ τῷ Γ ἴση ἡ ΒΓΔ, καὶ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ κέντρον τοῦ ΑΘΒ, ὅ ἐστι το Ε, ἐπιζεύχθω ἡ ΔΕ, καὶ κείσθω τῇ ΒΖ περιφερεία ἴση ἡ ΖΘ, καὶ ἐπιζεύχθωσαν αἱ ΔΘ, ΘΕ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΘΕ τῇ ΕΒ ἴση, κοινὴ δὲ ἡ ΕΔ καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν. ἐπεὶ καὶ ἡ ΘΖ περιφέρεια τῇ ΖΒ ἐστὶν ἴση· ἴση ἄρα ἡ ΘΔ τῇ ΔΒ. ἡ δὲ ΔΒ τῇ ΔΓ· ὡστε ὁ κέντρῳ Δ διαστήματι δὲ τῷ ΔΘ γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὸ ἡμικύκλιον, καὶ διὰ τοῦ Β ἐλεύσεται. μϛʹ 46. Ἔστι τις τόπος κοινός, ἀφ' οὗ τὰ om. ἄνισα μεγέθη ἴσα om. φαίνεται. ἔστω γὰρ μείζων μεῖζον ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ, καὶ περὶ μὲν om. τὴν ΒΓ μεῖζον ἡμικυκλίου τμῆμα γεγράφθω, περὶ δὲ τὴν ΓΔ Δ ὅμοιον τῷ περὶ τὴν ΒΓ ΒΖΓ , τουτέστι τοῦτ' ἔστι τουτέστιν δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ ἐν τῷ ΒΖΓ, ἐπεζεύχθωσαν δὲ αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ. οὐκοῦν ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ἐν τοῖς ὁμοίοις τμήμασι γωνίαι ἀλλήλαις, ἴσαι εἰσὶ εἰσὶν καὶ αἱ om. ἐν τοῖς ΒΖΓ ΖΓ , ΓΖΔ τμήμασι γωνίαι ἀλλήλαις. τὰ δὲ ὑπὸ om. τῶν ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται· τοῦ ἄρα ὄμματος τιθεμένου ἐπὶ τοῦ Ζ σημείου ἴση ἂν φαίνοιτο ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ· ἔστι δὲ μείζων μεῖζον . ἔστι τις ἄρα τόπος κοινός, ἀφ' οὗ τὰ ἄνισα μεγέθη ἴσα φαίνεται. μζʹ 47. Εἰσί τινες τόποι, ἐν οἷς τὰ ἄνισα μεγέθη δύο εἰς ταὐτὸ συντεθέντα συντιθέντα συνθέντα ἴσα ἑκατέρῳ τῶν ἀνίσων τῶν ἀνίσων ἑκατέρῳ φαίνεται. ἔστω γὰρ μείζων ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ, καὶ περὶ τὰς ΒΓ, ΓΔ ἡμικύκλια γεγράφθωσαν γεγράφθω καὶ περὶ ὅλην τὴν ΒΔ. οὐκοῦν ἴση ἡ ἐν τῷ ΒΑΔ ἡμικυκλίῳ γωνία τῇ τὴν ἐν τῷ ΒΚΓ· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα αὐτῶν. ἴση ἄρα φαίνεται ἡ ΒΓ τῇ ΒΔ· ὡσαύτως δὲ καὶ ἡ ΒΔ τῇ ΓΔ τῶν ὀμμάτων ἐπὶ τῶν ΒΑΔ, ΒΚΓ, ΓΖΔ ἡμικυκλίων ἡμικυκλίῳ κειμένων. εἰσί εἰσίν τινες ἄρα τόποι om. , ἐν οἷς τὰ ἄνισα μεγέθη δύο εἰς ταὐτὸ συντεθέντα ἴσα ἑκατέρῳ τῶν ἀνίσων φαίνεται. μηʹ 48. Εὑρεῖν τόπους, ἀφ' ὧν οὗ τὸ ἴσον μέγεθος ἥμισυ φανεῖται ἢ τέταρτον μέρος καὶ καθόλου ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ, ἐν ᾧ καὶ ἡ γωνία τέμνεται. ἔστω γὰρ εὐθεῖα ἡ ΛΖ, καὶ περὶ τὴν ΛΖ γεγράφθω τμῆμα om. κύκλου τυχόν, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸ γωνία ἡ Κ ΚΔ , τῇ δὲ ΛΖ ἴση ἔστω ἡ ΒΓ, καὶ περὶ τὴν ΒΓ περιγεγράφθω τμῆμα, ὃ δέξεται τὴν om. τῆς Κ γωνίας ἡμίσειαν. οὐκοῦν ἡ Κ γωνία διπλασία ἐστὶ τῆς Δ γωνίας γωας . διπλασία ἄρα φαίνεται ἡ ΛΖ τῆς ΒΓ τῶν ὀμμάτων ἐπὶ τῶν ΛΚΖ, ΒΔΓ περιφερειῶν Ͻῶν περιφεριῶν κειμένων. μθʹ 49. Τῶν ἴσῳ τάχει φερομένων καὶ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντων προσιόντων μὲν προσιόντων μὲν προσιόντων μὲν πρὸς τὴν ἀγομένην διὰ τοῦ ὄμματος παράλληλον τὴν εἰρημένην εὐθείαν τὸ πορρώτερον τοῦ ὄμματος τοῦ ἐγγύτερον προηγεῖσθαι προσιόντων ἀφὲς τὴν ἀγομένην διὰ τοῦ ὄμματος παράλληλον τὴν εἰρημένην εὐθείαν τὸ πορρώτερον τοῦ ὄμματος τοῦ ἐγγύτερον προηγεῖσθαι ἄρξειν πλησίον πρὸς τὸ ὄμμα τὸ τελευταῖον τελευτεον προηγεῖσθαι δόξει, παραλλαξάντων δὲ τὸ μὲν προηγούμενον ἐπακολουθεῖν, τὸ δὲ ἐπακολουθοῦν προηγεῖσθαι δόξει. φερέσθω γὰρ ἰσοταχῶς τὰ ΒΓ, ΔΖ, ΚΛ, καὶ ἀπὸ τοῦ Μ Μ. om. ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΜΓ, ΜΖ, ΜΛ. οὐκοῦν μετεωροτάτη ἐστὶ καὶ δεξιωτέρα τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἀκτίνων προσπιπτουσῶν ἡ ΜΓ· τὸ ἄρα ΒΓ δόξει προηγεῖσθαι. παραλλαξάντων δὲ τῶν ΒΓ, ΔΖ, ΚΛ καὶ ἐπὶ τῶν ΝΞ, ΠΡ, ΣΤ γενομένων προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΜΝ, ΜΠ, ΜΣ. οὐκοῦν πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἀκτίνων προσπιπτουσῶν δεξιωτέρα ἐστιν ἡ ΜΣ, ἀριστερὰ δὲ μᾶλλον ἡ ΜΝ· ὥστε καὶ τὸ μὲν ΣΤ προηγεῖσθαι δόξει, ἐπακολουθεῖν δὲ τὸ ΝΞ. τὸ μὲν ἄρα ΒΓ προηγούμενον ἐπὶ τοῦ ΝΞ γενόμενον δόξει om. ἐπακολουθεῖν, τὸ δὲ ΛΚ ἐπακολουθοῦν ἐπὶ τοῦ om. ΣΤ γενόμενον δόξει προηγεῖσθαι. νʹ 50. Ἐάν τινων φερομένων πλειόνων ἀνίσῳ τάχει συμπαραφέρειται συμπαραφέρηται ἐπὶ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ ὄμμα, τὰ μὲν τῷ τὸ ὄμματι ἰσοταχῶς φερόμενα δόξει ἑστάναι ἑστάναι δόξει , τὰ δὲ βραδύτερον εἰς τοὐναντίον φέρεσθαι, τὰ δὲ θᾶττον εἰς τὰ προηγούμενα. φερέσθω γὰρ ἀνίσῳ τάχει τὰ Β, Γ, Δ, καὶ βραδύτατα μὲν φερέσθω τὸ Β, τὸ δὲ Γ ἰσοταχῶς τῷ Κ ὄμματι, τὸ δὲ Δ θᾶττον τοῦ Γ, ἀπὸ δὲ τοῦ Κ ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΒ, ΚΓ, ΚΔ. οὐκοῦν τοῦ ὄμματος συμπαραφερομένου συμπεριφερομένου τοῖς Β, Γ, Δ τὸ μὲν Γ κατὰ τὴν ΓΚ Γ ἀεὶ τῷ Κ ὄμματι ἰσοταχῶς φερόμενον ἑστάναι δόξει, τὸ δὲ Β ὑπολειπόμενον εἰς τοὐναντίον δόξει φέρεσθαι, τὸ δὲ Δ, ἐπεὶ ἐπὶ θᾶττον τοῦ Γ φέρεται, δόξει εἰς τοὔμπροσθεν om. φέρεσθαι · πλεῖον γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ ἀποστήσεται. ναʹ 51. Ἐάν τινων φερομένων διαφαίνηταί διαφέρηταί τι μὴ om. φερόμενον, δόξει τὸ μὴ φερόμενον εἰς τοὐναντίον φέρεσθαι. φερέσθω γὰρ τὰ Β, Δ, μενέτω δὲ τὸ Γ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ὄμματος προσπιπτέτωσαν προσπιπτ... ἀκτῖνες αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ. οὐκοῦν τὸ μὲν Β φερόμενον ἔγγιον ἔγγειον ἔσται τοῦ Γ, τὸ δὲ Δ ἀποχωροῦν ἀποχωρείτω πορρώτερον. ὥστε δόξει τὸ τῷ Γ εἰς τοὐναντίον φέρεσθαι. νβʹ 52. Τοῦ ὄμματος ἔγγιον ἔγγειον τοῦ ὁρωμένου προσιόντος δόξει τὸ ὁρώμενον ηὐξῆσθαι ηὐξ.σθαι . ὁράσθω γὰρ τὸ ΒΓ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Ζ κειμένου ὑπὸ τῶν ΖΒ, ΖΓ ἀκτίνων, καὶ μετακείσθω τὸ ὄμμα ἔγγιον ἔγγειον τοῦ ΒΓ καὶ ἔστω ἐπὶ τοῦ Δ, καὶ ὁράσθω τὸ αὐτὸ αὐτῷ ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΔΓ ἀκτίνων. οὐκοῦν μείζων μεῖζον ἡ Δ γωνία τῆς Ζ γωνίας γωας . τὰ δὲ ὑπὸ μειζόνων γωνιῶν μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται· δόξει ἄρα ηὐξῆσθαι τὸ ΒΓ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Δ ὄντος ὄνματος ἤπερ ἐπὶ τοῦ Ζ. νγʹ 53. Τῶν ἴσῳ τάχει φερομένων τὰ πόρρω δοκεῖ βραδύτερον φέρεσθαι. φερέσθω γὰρ ἰσοταχῶς τὰ τὸ Β, Κ ὡς ἐπὶ τὰ Ζ μέρη, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ὄμματος ἀκτῖνες ἤχθωσαν αἱ ΑΓ ΑΒΓ , ΑΔ, ΑΖ. οὐκοῦν τὸ Κ ἐλάσσονας ἔχει τὰς ἀπὸ τοῦ Α om. ὄμματος ἀκτῖνας ἠγμένας ἡγουμένας ἤπερ τὸ Β· ἔλαττον ἄρα διάστημα διελεύσεται καὶ πρότερον παραλλάσσον παραλλάσσων παραλλάξαν τὴν ΑΖ ὄψιν δόξει ταχύτερον φέρεσθαι. om. Alternativer Beweis, der nur in Hs. 30 sowie bei Pena und Gregory im Haupttext steht. om. Τῶν ἴσῳ τάχει φερομένων τὰ πόρρω δοκεῖ βραδύτερον φέρεσθαι. om. φερέσθω γὰρ om. δύο σημεῖα τὰ Α, Β ἐπὶ παραλλήλων εὐθειῶν τῶν ΑΔ, ΒΕ, τὰς ἴσας ἄρα ὁμαλῶς καὶ ἴσως· καὶ ἐν ἴσῳ om. ἄρα χρόνῳ διελεύσεται. ἔστωσαν οὖν ἴσαι αἱ ΑΔ, ΒΕ καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες ἀπὸ τοῦ Ζ ὄμματος αἱ ΖΑ, ΖΔ, ΖΒ ΖΕ . ἐπεὶ οὖν ἐλάττων ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ om. ΖΑ ΒΖΔ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΖ ΒΖΕ , ἔλαττον ἄρα τὸ ΑΔ διάστημα τοῦ ΒΕ φανήσεται. ὥστε δόξει τὸ Α βραδύτερον φέρεσθαι τοῦ Β. Τῶν ἴσῳ τάχει φερομένων τὰ πόρρω δοκεῖ βραδύτερον φέρεσθαι. φερέσθω γὰρ δύο σημεῖα τὰ Α, Β ἐπὶ παραλλήλων εὐθειῶν τῶν ΑΔ, ΒΕ, τὰς ἴσας ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ διελεύσεται. ἔστωσαν οὖν ἴσαι αἱ ΑΔ, ΒΕ καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες ἀπὸ τοῦ Ζ ὄμματος αἱ ΖΑ, ΖΔ, ΖΕ. ἐπεὶ οὖν ἐλάττων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΑ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΖ, ἔλαττον ἄρα τὸ ΑΔ διάστημα τοῦ ΒΕ φανήσεται. ὥστε δόξει τὸ Α βραδύτερον φέρεσθαι τοῦ Β. ἔστω ὁρώμενα τὰ ΑΓ ἐπὶ παραλλῆλον τὰ τῶν ΔΒ, ΓΔ εὐθειῶν. λέγω ὅτι τὸ πόρρω τὸ Α καταλήπεσθαι δόξει. ἔστω γὰρ ὄμμα τὸ Ε, ἀφ' οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΓ, ΕΑ, ΕΔ, ΕΒ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστίν ἡ ὑπὸ ΓΕΔ τῆς ὑπὸ ΑΕΒ μειßζων ἄρα καὶ τοῦ ΑΒ τὸ ΓΔ φανήσεται. ὑπολείπον ἄρα τὸ Α δοκεῖ βραδύτερον φέρεσθαι. νδʹ 54. Τοῦ ὄμματος παραφερομένου τὰ πόρρω τῶν ὁρωμένων καταλείπεσθαι δόξει. ἔστω γὰρ ὄμμα τὸ Β, ἀφ' οὗ ἤχθωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΓ, ΒΔ, ΒΖ, ὁρώμενα δὲ τὰ Κ, Λ. οὐκοῦν τοῦ ὄμματος παραφερομένου πρὸς τοῖς τὴν Γ μέρεσι μέρεσιν θᾶττον παρελεύσονται αἱ ὄψεις τὸ Κ ἤπερ τὸ Λ. δόξει ἄρα τὸ Κ ὑπολείπεσθαι, τὸ δὲ Λ εἰς τοὐναντίον φέρεσθαι, τουτέστιν τοῦτ' ἔστιν ὡς ἐπὶ τὰ πρὸς τῷ Ζ μέρη. νεʹ 55. Τὰ αὐξανόμενα τῶν μεγεθῶν μεγεκῶν ἔγγιον ἔγγειον δοκεῖ τῷ ὄμματι προσάγεσθαι. ἔστω γὰρ ὁρώμενον τὸ ΓΒ ὑπὸ τῶν ΚΒ, ΚΓ ἀκτίνων, καὶ ηὐξήσθω ηὐξείσθω τὸ ΒΓ ΓΒ τῷ ΒΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ . ὄμματος προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ ΚΔ. οὐκοῦν μείζων μεῖζον ἡ ὑπὸ ΔΚΓ ΚΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΚΓ γωνίας. τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα ἔγγιον ἔγγειον μείζονα ἄρα δόξει εἶναι τὸ ΓΔ ἤπερ τὸ ΒΓ φαίνεται. ἔγγιον ἔγγειον μεῖζον om. ἄρα om. δόξει εἶναι φαίνεται om. μείζων φαίνεται τὸ ΓΔ ἤπερ τὸ τοῦ ΒΓ ΓΒ . om. τὰ δὲ om. μείζονα ἑαυτῶν οἰόμενα ὁρώμενα τοῦ ὄμματος προσιόντος προσιόντου ἐπαυξάνεσθαι δοκοῦσι, καὶ τὰ αὐξανόμενα ἄρα τῶν μεγεθῶν δόξει προσάγεσθαι τῷ ὄμματι. νϛʹ 56. Ὅσα μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἀποστήματι ὑποστήματι κεῖται μὴ παράλληλα κείμενα τῶν ἄκρων μὴ κατάλληλα παράλληλα παρ' ἄλληλα κειμένων τῶν μέσων μηδὲ μηδὲ τῶν μέσων ἐπ' εὐθείας ὄντων, τὸ ὅλον σχῆμα ὁτὲ μὲν κοῖλον, ὁτὲ δὲ κυρτὸν ποιεῖ. ὁράσθω γὰρ τὰ Β, Γ, Δ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Κ κειμένου, καὶ προσπιπτέτωσαν πιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΒ, ΚΓ, ΚΔ. οὐκοῦν τὸ ὅλον σχῆμα κοῖλον ἂν om. δόξειεν εἶναι. μετακινείσθω μετακείσθω δὴ πάλιν τὸ ὁρώμενον καὶ ἔγγιον ἔγγειον κείσθω τοῦ ὄμματος. οὐκοῦν τὸ ΔΒΓ δόξει κυρτὸν εἶναι. νζʹ 57. Τετραγώνου ὑπάρχοντος ἐὰν ἀπὸ τῆς συναφῆς τῶν διαμέτρων πρὸς ὀρθάς τις τῆς ἀναχθῇ τῷ τοῦ τετραγώνου ἐπιπέδῳ, ἐπὶ ἐπεὶ δὲ ταύτης αὐτῆς αύ τεθῇ τὸ ὄμμα, αἵ τε πλευραὶ τοῦ τετραγώνου □ου καὶ αἱ διάμετροι ἴσαι φανοῦνται. om. ταῖς διαστήμασιν ἔστω γὰρ τετράγωνον □ον τὸ ΓΖ, καὶ διάμετροι ἤχθωσαν αἱ om. ΓΖ, ΚΔ om. , καὶ ἀπὸ τοῦ Θ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω τῷ ἐπιπέδῳ ἡ ΘΒ, τὸ δὲ ὄμμα κείσθω ἐπὶ τοῦ Β, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΒ ΒΚ , ΒΔ, ΒΓ, ΒΖ. οὐκοῦν δύο αἱ ΖΘ ΘΖ , ΘΒ δύο ταῖς ΓΘ, ΘΒ om. δυσὶ ταῖς ΘΓ, ΘΒ ἴσαι εἰσίν. εἰσὶ δὲ καὶ αἱ γωνίαι αἱ περιεχόμεναι ὑπ' αὐτῶν ἴσαι, τουτέστιν τοῦτ' ἔστιν αἱ πρὸς τῷ Θ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΒ βάσις τῇ ΒΓ βάσει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΚΒ τῇ ΒΔ ἴση ἐστιν ἐστί . δύο δὴ αἱ ΖΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΚΒ, ΔΒ ΔΘ ΒΔ ἴσαι εἰσιν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καί εἰσιν αἱ διάμετροι ἴσαι· ὥστε καὶ αἱ πρὸς τῷ Β γωνίαι ἴσαι ἔσονται. τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται· ἴσαι ἄρα φανοῦνται αἵ τε ται διάμετροι καὶ αἱ πλευραὶ τοῦ τετραγώνου □ου . Τῆς δὲ ἀπὸ τῶν ὀμμάτων ἐπὶ τὴν συναφὴν τῶν διαμέτρων μήτε om. μὴ πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῷ om. τοῦ τετραγώνου ἐπιπέδῳ μήτε ἴσης ἑκατέρᾳ ἑκατέρας τῶν ἀπὸ τῆς συναφῆς πρὸς τὰς γωνίας τοῦ τετραγώνου □ου ἀγομένων μήτε ἴσας ἴσης γωνίας περιεχούσης μετ' αὐτῶν αἱ διάμετροι ἄνισοι φανοῦνται. ὁμοίως γὰρ δείξομεν τὰ συμβαίνοντα, καθάπερ καὶ om. ἐν τοῖς κύκλοις. om. τῆς δὲ ἀπὸ τῶν ὀμμάτων ἐπὶ τὴν συναφὴν τῶν διαμέτρων, μὴ πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῷ τοῦ τετραγώνου ἐπιπέδῳ, μήτε ἴσης ἑκατέρᾳ τῶν ἀπὸ τῆς συναφῆς πρὸς τὰς γωνίας τοῦ τετραγώνου ἀγομένων, μήτε ἴσας γωνίας περιεχούσης μετ' αὐτῶν, αἱ διάμετροι ἄνισοι φανοῦνται.